Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên bằng \(a\sqrt 3 \) và \(O\) là tâm
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên bằng \(a\sqrt 3 \) và \(O\) là tâm của đáy. Gọi \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) lần lượt là các điểm đối xứng với \(O\) qua trọng tâm của các tam giác \(SAB\), \(SBC\), \(SCD\), \(SDA\) và \(S'\) là điểm đối xứng với \(S\) qua \(O\). Thể tích của khối chóp \(S'.MNPQ\) bằng:
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Gọi \({G_1},\,\,{G_2},\,\,{G_3},\,\,{G_4}\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(SAB\), \(SBC\), \(SCD\), \(SDA\), \(E,\,\,F,\,\,G,\,\,H\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,BC,\,\,CD,\,\,DA\).
Ta có: \(MN\parallel {G_1}{G_2}\parallel EF\), \(NP\parallel {G_2}{G_3}\parallel FG\) \( \Rightarrow \left( {MNEF} \right)\parallel \left( {{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}} \right)\parallel \left( {ABCD} \right)\).
Gọi \(O' = SO \cap \left( {MNPQ} \right)\) \( \Rightarrow OO' \bot \left( {MNPQ} \right)\) \( \Rightarrow S'O' \bot \left( {MNPQ} \right)\).
Ta có: \(MN = 2{G_1}{G_2} = 2.\dfrac{2}{3}EF = \dfrac{4}{3}EF\), chứng minh tương tự ta có \(NP = \dfrac{4}{3}FG,\,\,PQ = \dfrac{4}{3}GH,\,\,QM = \dfrac{4}{3}HE\).
\( \Rightarrow MN = NP = PQ = QM\) \( \Rightarrow MNPQ\) là hình thoi, lại có \(EF \bot EG \Rightarrow MN \bot NP\).
\( \Rightarrow MNPQ\) là hình vuông.
Do \(S.ABCD\) là chóp đều nên dễ dàng chứng minh được \(OM = ON = OP = OQ\).
\( \Rightarrow O.MNPQ\) là chóp đều, lại có \(OO' \bot \left( {MNPQ} \right)\) với \(O' \in \left( {MNPQ} \right)\), do đó \(MP \cap NQ = O'\).
Ta có: \(EF = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow MN = \dfrac{4}{3}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{2a\sqrt 2 }}{3}\) \( \Rightarrow MNPQ\) là hình vuông cạnh \(\dfrac{{2a\sqrt 2 }}{3}\).
\( \Rightarrow {S_{MNPQ}} = {\left( {\dfrac{{2a\sqrt 2 }}{3}} \right)^2} = \dfrac{{8{a^2}}}{9}\).
Ta có: \(OB = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) \( \Rightarrow SO = \sqrt {S{B^2} - B{O^2}} = \sqrt {3{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}\) \( \Rightarrow S'O = SO = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}\).
Gọi \(O'' = SO \cap \left( {{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}} \right)\) ta có: \(\dfrac{{OO''}}{{OO'}} = \dfrac{{O{G_1}}}{{OM}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow OO'' = \dfrac{1}{2}OO'\).
Lại có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{SO''}}{{SO}} = \dfrac{{S{G_1}}}{{SE}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow SO'' = \dfrac{2}{3}SO\\ \Rightarrow OO'' = \dfrac{1}{3}SO\\ \Rightarrow OO' = \dfrac{2}{3}SO = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt {10} }}{2} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{3}\end{array}\)
\( \Rightarrow SO' = SO + OO' = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2} + \dfrac{{a\sqrt {10} }}{3} = \dfrac{{5a\sqrt {10} }}{6}\).
Vậy \({V_{S'.MNPQ}} = \dfrac{1}{3}SO'.{S_{MNPQ}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{5a\sqrt {10} }}{6}.\dfrac{{8{a^2}}}{9} = \dfrac{{20\sqrt {10} {a^3}}}{{81}}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
