Cho hình chóp \(S.ABCD\) có mặt đáy là hình thoi tâm \(O\), cạnh \(a\) và \(\angle BAD = {60^0}\) và \(SO

Câu hỏi số 427390:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có mặt đáy là hình thoi tâm \(O\), cạnh \(a\) và \(\angle BAD = {60^0}\) và \(SO = \dfrac{{3a}}{4}\). Biết \(SA = SC\) và \(SB = SD\). Hỏi khoảng cách giữa \(SA\) và \(BD\) bằng bao nhiêu?

A. \(\dfrac{{3a}}{7}\)

B. \(\dfrac{{3a\sqrt 7 }}{{14}}\)

C. \(\dfrac{{3a\sqrt 7 }}{7}\)

D. \(\dfrac{{3a}}{{14}}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:427390

Phương pháp giải

- Chứng minh \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

- Xác định \(\left( P \right)\) chứa \(SA\) và vuông góc với \(BD\).

- Trong \(\left( P \right)\) dựng đoạn vuông góc chung của \(SA,\,\,BD\).

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Giải chi tiết

Vì \(SA = SC \Rightarrow \Delta SAC\) cân tại \(S\) \( \Rightarrow SO \bot AC\).

\(SB = SD \Rightarrow \Delta SBD\) cân tại \(S\) \( \Rightarrow SO \bot BD\).

\( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD\\AC \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SBD} \right) \equiv \left( P \right)\).

Trong \(\left( P \right)\) kẻ \(OH \bot SA\,\,\left( {H \in SA} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {SA;BD} \right) = OH\).

Xét \(\Delta ABD\) có \(\left\{ \begin{array}{l}AB = AD\\\angle BAD = {60^0}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ABD\) đều cạnh \(a\) nên \(OA = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Tính \(OH\): \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{S{O^2}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{{3{a^2}}}{4}}} + \dfrac{1}{{\dfrac{{9{a^2}}}{{16}}}} = \dfrac{{28}}{{9{a^2}}}\).

\( \Rightarrow OH = \dfrac{{3a\sqrt 7 }}{{14}}\).

Vậy \(d\left( {SA;BD} \right) = \dfrac{{3a\sqrt 7 }}{{14}}\).

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.