Với n là số nguyên dương, chứng minh hệ thức +2+3+...+(n-1)(+n=

Câu hỏi số 42771:

Với n là số nguyên dương, chứng minh hệ thức

$(C_{n}^{1})^{2}$ +2 $(C_{n}^{2})^{2}$ +3 $(C_{n}^{3})^{2}$ +...+(n-1)( $(C_{n}^{n-1})^{2}$ +n $(C_{n}^{n})^{2}$ = $\frac{n}{2}C_{2n}^{n}$

A. Click vào đáp án để xem

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:42771

Giải chi tiết

Đặt S = $0.{\left( {C_n^0} \right)^2} + 1.{\left( {C_n^1} \right)^2} + 2{\left( {C_n^2} \right)^2} + 3{\left( {C_n^3} \right)^2} + ... + \left( {n - 1} \right){\left( {C_n^{n - 1}} \right)^2} + n{\left( {C_n^n} \right)^2}$

Ta có 2S = $n.\left[ e_{\left( {C_n^0} \right)}^2} + e_\left( {C_n^1} \right)}^2} + e_\left( {C_n^2} \right)}^2} + {{\left( {C_n^3} \right)}^2} + ... + {{\left( {C_n^{n - 1 \right)}^2} + e_\left( {C_n^n} \right)}^2 \right]$

Khai triển hai nhị thức (1 + x)ⁿ(1 + x)ⁿ và (1 + x)²ⁿ rồi so sánh hệ số của xⁿ ta được

${\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + .... + C_n^{n - 1}{x^{n - 1 + C_n^n{x^n}$

${\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^n{x^n} + C_n^{n - 1}{x^{n - 1 + C_n^{n - 2}{x^{n - 2}} + .... + C_n^1{x^1} + C_n^0$

${\left( {1 + x} \right)^n}{\left( {1 + x} \right)^n} = ...\left[ e_{\left( {C_n^0} \right)}^2} + e_\left( {C_n^1} \right)}^2} + e_\left( {C_n^2} \right)}^2} + ...{{\left( {C_n^{n - 1 \right)}^2} + e_\left( {C_n^n} \right)}^2 \right]{x^n} + ...,$

do $C_n^k = C_n^{n - k}$

${\left( {1 + x} \right)^{2n = C_{2n}^0 + C_{2n}^1x + ... + C_{2n}^n{x^n} + .... + C_{2n}^{2n - 1}{x^{2n - 1 + C_{2n}^{2n}{x^{2n}}$

${\left( {C_n^0} \right)^2} + {\left( {C_n^1} \right)^2} + {\left( {C_n^2} \right)^2} + {\left( {C_n^3} \right)^2} + ... + {\left( {C_n^{n - 1}} \right)^2} + {\left( {C_n^n} \right)^2} = C_{2n}^n$

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.