Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(\sin \left( {3x - \dfrac{\pi

Câu hỏi số 428116:

Vận dụng

Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(\sin \left( {3x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\) bằng:

A. \(\dfrac{\pi }{9}\)

B. \( - \dfrac{\pi }{6}\)

C. \(\dfrac{\pi }{6}\)

D. \( - \dfrac{\pi }{9}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:428116

Phương pháp giải

- Giải phương trình lượng giác cơ bản.

- Giải bất phương trình \(x > 0\), tìm số nguyên \(k\) nhỏ nhất thỏa mãn, từ đó suy ra nghiệm dương nhỏ nhất.

- Giải bất phương trình \(x < 0\), tìm số nguyên \(k\) lớn nhất thỏa mãn, từ đó suy ra nghiệm âm lớn nhất.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sin \left( {3x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\3x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{2\pi }}{3} + m2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \dfrac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \\3x = \dfrac{{11\pi }}{{12}} + m2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{7\pi }}{{36}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\\x = \dfrac{{11\pi }}{{36}} + \dfrac{{m2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {k,m \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{{7\pi }}{{36}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(x > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{7\pi }}{{36}} + \dfrac{{k2\pi }}{3} > 0 \Leftrightarrow k > - \dfrac{7}{{24}}\) \( \Rightarrow {k_{\min }} = 0\).

\( \Rightarrow \) Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm này là \(x = \dfrac{{7\pi }}{{36}}\).

\(x < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{7\pi }}{{36}} + \dfrac{{k2\pi }}{3} < 0 \Leftrightarrow k < - \dfrac{7}{{24}}\) \( \Rightarrow {k_{\max }} = - 1\).

\( \Rightarrow \) Nghiệm âm lớn nhất của họ nghiệm này là \(x = - \dfrac{{17\pi }}{{36}}\).

Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{{11\pi }}{{36}} + \dfrac{{m2\pi }}{3}\,\,\left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(x > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{11\pi }}{{36}} + \dfrac{{m2\pi }}{3} > 0 \Leftrightarrow m > - \dfrac{{11}}{{24}}\) \( \Rightarrow {m_{\min }} = 0\).

\( \Rightarrow \) Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm này là \(x = \dfrac{{11\pi }}{{36}}\).

\(x < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{11\pi }}{{36}} + \dfrac{{m2\pi }}{3} < 0 \Leftrightarrow m < - \dfrac{{11}}{{24}}\) \( \Rightarrow {m_{\max }} = - 1\).

\( \Rightarrow \) Nghiệm âm lớn nhất của họ nghiệm này là \(x = - \dfrac{{13\pi }}{{36}}\).

\( \Rightarrow \) Nghiệm dương nhỏ nhất cửa phương trình đã cho là \(x = \dfrac{{7\pi }}{{36}}\) và nghiệm âm lớn nhất của phương trình đã cho là \(x = - \dfrac{{13\pi }}{{36}}\).

Vậy tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là \(\dfrac{{7\pi }}{{36}} - \dfrac{{13\pi }}{{36}} = - \dfrac{\pi }{6}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.