Cho tứ diện \(SABC\) có \(D,\,\,E\) lần lượt là trung điểm \(AC,\,\,BC\) và \(G\) là trọng tâm tam

Câu hỏi số 428857:

Vận dụng cao

Cho tứ diện \(SABC\) có \(D,\,\,E\) lần lượt là trung điểm \(AC,\,\,BC\) và \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua \(AC\) cắt \(SE,\,\,SB\) lần lượt tại \(M,\,\,N\). Một mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) qua \(BC\) cắt \(SD\) và \(SA\) lần lượt tại \(P\) và \(Q\).

a) Gọi \(I = AM \cap DN,\,\,J = BP \cap EQ\). Chứng minh 4 điểm \(S,\,\,I,\,\,J,\,\,G\) thẳng hàng.

b) Giả sử \(AN \cap DM = K,\,\,BQ \cap EP = L\). Chứng minh ba điểm \(S,\,\,K,\,\,L\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:428857

Phương pháp giải

Phương pháp chứng minh ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) thẳng hàng.

+ Bước 1: Chỉ ra \(A,\,\,B,\,\,C \in \left( P \right)\).

+ Bước 2: Chỉ ra \(A,\,\,B,\,\,C \in \left( Q \right)\).

\( \Rightarrow A,\,\,B,\,\,C \in d = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\).

Giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}I = AM \cap DN \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in AM \subset \left( {SAE} \right)\\I \in DN \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {SAE} \right) \cap \left( {SBD} \right)\,\,\left( 1 \right)\\J = BP \cap EQ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}J \in BP \subset \left( {SBD} \right)\\J \in EQ \subset \left( {SAE} \right)\end{array} \right. \Rightarrow J \in \left( {SAE} \right) \cap \left( {SBD} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\\S \in \left( {SAE} \right) \cap \left( {SBD} \right)\,\,\,\left( 3 \right)\\G = AE \cap BD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}G \in AE \subset \left( {SAE} \right)\\G \in BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow G \in \left( {SAE} \right) \cap \left( {SBD} \right)\,\,\left( 4 \right)\end{array}\)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra bốn điểm \(S,\,\,I,\,\,J,\,\,G\) cùng thuộc hai mặt phẳng \(\left( {SAE} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) nên chúng thẳng hàng (đpcm).

Ta có: \(S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SDE} \right)\,\,\,\left( 5 \right)\)

\(\begin{array}{l}AN \cap DM = K \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}K \in AN \subset \left( {SAB} \right)\\K \in DM \subset \left( {SDE} \right)\end{array} \right. \Rightarrow K \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SDE} \right)\,\,\,\left( 6 \right)\\BQ \cap EP = L \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}L \in BQ \subset \left( {SAB} \right)\\L \in EP \subset \left( {SDE} \right)\end{array} \right. \Rightarrow L \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SDE} \right)\,\,\,\left( 7 \right)\end{array}\)

Từ (5), (6), (7) suy ra \(S,\,\,K,\,\,L\) cùng thuộc hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SDE} \right)\) nên chúng thẳng hàng (đpcm).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.