Cho tứ diện \(SABC\) có \(D,\,\,E\) lần lượt là trung điểm \(AC,\,\,BC\) và \(G\) là trọng tâm tam

Câu hỏi số 428857:

Vận dụng cao

Cho tứ diện \(SABC\) có \(D,\,\,E\) lần lượt là trung điểm \(AC,\,\,BC\) và \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua \(AC\) cắt \(SE,\,\,SB\) lần lượt tại \(M,\,\,N\). Một mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) qua \(BC\) cắt \(SD\) và \(SA\) lần lượt tại \(P\) và \(Q\).

a) Gọi \(I = AM \cap DN,\,\,J = BP \cap EQ\). Chứng minh 4 điểm \(S,\,\,I,\,\,J,\,\,G\) thẳng hàng.

b) Giả sử \(AN \cap DM = K,\,\,BQ \cap EP = L\). Chứng minh ba điểm \(S,\,\,K,\,\,L\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:428857

Phương pháp giải

Phương pháp chứng minh ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) thẳng hàng.

+ Bước 1: Chỉ ra \(A,\,\,B,\,\,C \in \left( P \right)\).

+ Bước 2: Chỉ ra \(A,\,\,B,\,\,C \in \left( Q \right)\).

\( \Rightarrow A,\,\,B,\,\,C \in d = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\).

Giải chi tiết

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}I = AM \cap DN \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in AM \subset \left( {SAE} \right)\\I \in DN \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {SAE} \right) \cap \left( {SBD} \right)\,\,\left( 1 \right)\\J = BP \cap EQ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}J \in BP \subset \left( {SBD} \right)\\J \in EQ \subset \left( {SAE} \right)\end{array} \right. \Rightarrow J \in \left( {SAE} \right) \cap \left( {SBD} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\\S \in \left( {SAE} \right) \cap \left( {SBD} \right)\,\,\,\left( 3 \right)\\G = AE \cap BD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}G \in AE \subset \left( {SAE} \right)\\G \in BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow G \in \left( {SAE} \right) \cap \left( {SBD} \right)\,\,\left( 4 \right)\end{array}\)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra bốn điểm \(S,\,\,I,\,\,J,\,\,G\) cùng thuộc hai mặt phẳng \(\left( {SAE} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) nên chúng thẳng hàng (đpcm).

Ta có: \(S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SDE} \right)\,\,\,\left( 5 \right)\)

\(\begin{array}{l}AN \cap DM = K \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}K \in AN \subset \left( {SAB} \right)\\K \in DM \subset \left( {SDE} \right)\end{array} \right. \Rightarrow K \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SDE} \right)\,\,\,\left( 6 \right)\\BQ \cap EP = L \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}L \in BQ \subset \left( {SAB} \right)\\L \in EP \subset \left( {SDE} \right)\end{array} \right. \Rightarrow L \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SDE} \right)\,\,\,\left( 7 \right)\end{array}\)

Từ (5), (6), (7) suy ra \(S,\,\,K,\,\,L\) cùng thuộc hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SDE} \right)\) nên chúng thẳng hàng (đpcm).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.