Với giá trị lớn nhất của \(a\) bằng bao nhiêu để phương trình \(a{\sin ^2}x + 2\sin 2x + 3a{\cos ^2}x = 2\) có nghiệm?
Câu 428971: Với giá trị lớn nhất của \(a\) bằng bao nhiêu để phương trình \(a{\sin ^2}x + 2\sin 2x + 3a{\cos ^2}x = 2\) có nghiệm?
A. \(2\)
B. \(\dfrac{{11}}{3}\)
C. \(4\)
D. \(\dfrac{8}{3}\)
- Sử dụng công thức hạ bậc: \({\sin ^2}x = \dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}\), \({\cos ^2}x = \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}\).
- Đưa phương trình về dạng \(a\sin \alpha + b\cos \alpha = c\).
- Phương trình \(a\sin \alpha + b\cos \alpha = c\) có nghiệm \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge {c^2}\).
-
Đáp án : D(2) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,a{\sin ^2}x + 2\sin 2x + 3a{\cos ^2}x = 2\\ \Leftrightarrow a.\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2} + 2\sin 2x + 3a.\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} = 2\\ \Leftrightarrow a\left( {1 - \cos 2x} \right) + 4\sin 2x + 3a\left( {1 + \cos 2x} \right) = 4\\ \Leftrightarrow a - a\cos 2x + 4\sin 2x + 3a + 3a\cos 2x = 4\\ \Leftrightarrow 4\sin 2x + 2a\cos 2x = 4 - 4a\end{array}\)
Phương trình trên có nghiệm
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {4^2} + {\left( {2a} \right)^2} \ge {\left( {4 - 4a} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 16 + 4{a^2} \ge 16 - 32a + 16{a^2}\\ \Leftrightarrow 12{a^2} - 32a \le 0\\ \Leftrightarrow 0 \le a \le \dfrac{8}{3}\end{array}\)
Vậy giá trị lớn nhất của \(a\) để phương trình ban đầu có nghiệm là \({a_{\max }} = \dfrac{8}{3}\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
