Với giá trị lớn nhất của \(a\) bằng bao nhiêu để phương trình \(a{\sin ^2}x + 2\sin 2x + 3a{\cos

Câu hỏi số 428971:

Vận dụng

Với giá trị lớn nhất của \(a\) bằng bao nhiêu để phương trình \(a{\sin ^2}x + 2\sin 2x + 3a{\cos ^2}x = 2\) có nghiệm?

A. \(2\)

B. \(\dfrac{{11}}{3}\)

C. \(4\)

D. \(\dfrac{8}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:428971

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức hạ bậc: \({\sin ^2}x = \dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}\), \({\cos ^2}x = \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}\).

- Đưa phương trình về dạng \(a\sin \alpha + b\cos \alpha = c\).

- Phương trình \(a\sin \alpha + b\cos \alpha = c\) có nghiệm \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge {c^2}\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,a{\sin ^2}x + 2\sin 2x + 3a{\cos ^2}x = 2\\ \Leftrightarrow a.\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2} + 2\sin 2x + 3a.\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} = 2\\ \Leftrightarrow a\left( {1 - \cos 2x} \right) + 4\sin 2x + 3a\left( {1 + \cos 2x} \right) = 4\\ \Leftrightarrow a - a\cos 2x + 4\sin 2x + 3a + 3a\cos 2x = 4\\ \Leftrightarrow 4\sin 2x + 2a\cos 2x = 4 - 4a\end{array}\)

Phương trình trên có nghiệm

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {4^2} + {\left( {2a} \right)^2} \ge {\left( {4 - 4a} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 16 + 4{a^2} \ge 16 - 32a + 16{a^2}\\ \Leftrightarrow 12{a^2} - 32a \le 0\\ \Leftrightarrow 0 \le a \le \dfrac{8}{3}\end{array}\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(a\) để phương trình ban đầu có nghiệm là \({a_{\max }} = \dfrac{8}{3}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.