Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình sau có nghiệm? \({\sin ^2}x - 2\left(

Câu hỏi số 428972:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình sau có nghiệm?

\({\sin ^2}x - 2\left( {m - 1} \right)\sin x\cos x - \left( {m - 1} \right){\cos ^2}x = m\)

A. \(2\)

B. \(1\)

C. \(0\)

D. Vô số

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:428972

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức hạ bậc: \({\sin ^2}x = \dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}\), \({\cos ^2}x = \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}\).

- Đưa phương trình về dạng \(a\sin \alpha + b\cos \alpha = c\).

- Phương trình \(a\sin \alpha + b\cos \alpha = c\) có nghiệm \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge {c^2}\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{\sin ^2}x - 2\left( {m - 1} \right)\sin x\cos x - \left( {m - 1} \right){\cos ^2}x = m\\ \Leftrightarrow \dfrac{{1 - \cos 2x}}{2} - \left( {m - 1} \right)\sin 2x - \left( {m - 1} \right).\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} = m\\ \Leftrightarrow 1 - \cos 2x - 2\left( {m - 1} \right)\sin 2x - \left( {m - 1} \right)\left( {1 + \cos 2x} \right) = 2m\\ \Leftrightarrow 1 - \cos 2x - 2\left( {m - 1} \right)\sin 2x - m + 1 - \left( {m - 1} \right)\cos 2x = 2m\\ \Leftrightarrow - 2\left( {m - 1} \right)\sin 2x - m\cos 2x - 3m + 2 = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {m - 1} \right)\sin 2x + m\cos 2x = - 3m + 2\end{array}\)

Để phương trình trên có nghiệm thì

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,4{\left( {m - 1} \right)^2} + {m^2} \ge {\left( { - 3m + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 8m + 4 + {m^2} \ge 9{m^2} - 12m + 4\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m \le 0\\ \Leftrightarrow 0 \le m \le 1\end{array}\)

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1} \right\}\).

Vậy có 2 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.