Tìm điều kiện để phương trình \(a{\sin ^2}x + a\sin x\cos x + b{\cos ^2}x = 0\) với \(a \ne 0\) có

Câu hỏi số 428973:

Vận dụng

Tìm điều kiện để phương trình \(a{\sin ^2}x + a\sin x\cos x + b{\cos ^2}x = 0\) với \(a \ne 0\) có nghiệm?

A. \(a \ge 4b\)

B. \(a \le - 4b\)

C. \(\dfrac{{4b}}{a} \le 1\)

D. \(\left| {\dfrac{{4b}}{a}} \right| \le 1\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:428973

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức hạ bậc: \({\sin ^2}x = \dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}\), \({\cos ^2}x = \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}\).

- Đưa phương trình về dạng \(a\sin \alpha + b\cos \alpha = c\).

- Phương trình \(a\sin \alpha + b\cos \alpha = c\) có nghiệm \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge {c^2}\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,a{\sin ^2}x + a\sin x\cos x + b{\cos ^2}x = 0\\ \Leftrightarrow a.\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2} + \dfrac{a}{2}\sin 2x + b.\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} = 0\\ \Leftrightarrow a - a\cos 2x + a\sin 2x + b + b\cos 2x = 0\\ \Leftrightarrow a\sin 2x - \left( {a - b} \right)\cos 2x = - a - b\end{array}\)

Phương trình trên có nghiệm

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2} + {\left( {a - b} \right)^2} \ge {\left( { - a - b} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} + {a^2} - 2ab + {b^2} \ge {a^2} + 2ab + {b^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} - 4ab \ge 0\\ \Leftrightarrow {a^2}\left( {1 - \dfrac{{4b}}{a}} \right) \ge 0\,\,\left( {Do\,\,a \ne 0} \right)\\ \Leftrightarrow 1 - \dfrac{{4b}}{a} \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{4b}}{a} \le 1\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.