Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\) để phương trình \(\left( {{m^2} + 2} \right){\cos ^2}x - 2m\sin 2x + 1 = 0\) có nghiệm?

Câu 428975: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\) để phương trình \(\left( {{m^2} + 2} \right){\cos ^2}x - 2m\sin 2x + 1 = 0\) có nghiệm?

A. \(3\)

B. \(7\)

C. \(6\)

D. \(4\)

Câu hỏi : 428975

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức hạ bậc: \({\cos ^2}x = \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}\).

- Đưa phương trình về dạng \(a\sin \alpha + b\cos \alpha = c\).

- Phương trình \(a\sin \alpha + b\cos \alpha = c\) có nghiệm \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge {c^2}\).

Đáp án : C
(6) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {{m^2} + 2} \right){\cos ^2}x - 2m\sin 2x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 2} \right).\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} - 2m\sin 2x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2 + \left( {{m^2} + 2} \right)\cos 2x - 4m\sin 2x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow 4m\sin 2x - \left( {{m^2} + 2} \right)\cos 2x = {m^2} + 4\end{array}\)

Phương trình trên có nghiệm

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {4m} \right)^2} + {\left( {{m^2} + 2} \right)^2} \ge {\left( {{m^2} + 4} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 16{m^2} + {m^4} + 4{m^2} + 4 \ge {m^4} + 8{m^2} + 16\\ \Leftrightarrow 12{m^2} - 12 \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp điều kiện đề bài ta có \(m \in \left[ { - 3; - 1} \right] \cup \left[ {1;3} \right],\,\,m \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;1;2;3} \right\}\).

Vậy có 6 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.