Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(m{\sin ^2}x - 3\sin x\cos x - m - 1 = 0\) có đúng ba nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\).

Câu 428976: Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(m{\sin ^2}x - 3\sin x\cos x - m - 1 = 0\) có đúng ba nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\).

A. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right]\)

B. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\)

C. \(m \in \left( { - 1; + \infty } \right)\)

D. \(m \in \left[ { - 1; + \infty } \right)\)

Câu hỏi : 428976

Phương pháp giải:

- Xét 2 TH: \(\cos x = 0\) và \(\cos x \ne 0\). Chứng minh trường hợp \(\cos x = 0\) không thỏa mãn, khi \(\cos x \ne 0\), chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\).

- Đặt ẩn phụ \(t = \tan x\), đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn \(t\).

- Xét đồ thị hàm số \(t = \tan x\) trên \(\left( {0;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\), xác định trên từng khoảng cụ thể mỗi giá trị \(t\) cho bao nhiêu giá trị \(x\) tương ứng, từ đó suy ra điều kiện của nghiệm của phương trình bậc hai ẩn \(t\).

- Phương trình dạng \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có 2 nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow ac < 0\).

Đáp án : B
(7) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
TH1: \(\cos x = 0\), khi đó phương trình trở thành: \( - m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\).

Với \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Cho \(x \in \left( {0;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) \( \Rightarrow 0 < \dfrac{\pi }{2} + k\pi < \dfrac{{3\pi }}{2} \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} < k < 1,\,\,k \in \mathbb{Z}\) \( \Rightarrow k = 0\).

Khi đó phương trình đã cho chỉ có 1 nghiệm thuộc \(\left( {0;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\), do đó TH \(\cos x = 0\) không thỏa mãn.

TH2: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Chia cả 2 vế của phương trình ban đầu cho \({\cos ^2}x\) ta được:

\(\begin{array}{l}m{\tan ^2}x - 3\tan x + \left( { - m - 1} \right)\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow m{\tan ^2}x - 3\tan x - m - m{\tan ^2}x - 1 - {\tan ^2}x = 0\\ \Leftrightarrow - {\tan ^2}x - 3\tan x - m - 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\tan ^2}x + 3\tan x + m + 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \(t = \tan x\), phương trình (*) trở thành: \({t^2} + 3t + m + 1 = 0\,\,\left( {**} \right)\).

Xét đồ thị hàm số \(t = \tan x\) trên \(\left( {0;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) ta thấy:

+ Với mỗi giá trị \(t > 0\) thì một giá trị của \(t\) cho ta 2 giá trị của \(x\) tương ứng.

+ Với mỗi giá trị \(t < 0\) thì một giá trị của \(t\) cho ta 1 giá trị của \(x\) tương ứng.

Do đó để phương trình ban đầu có 3 nghiệm phân biệt thuộc \(\left( {0;\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) thì phương trình (**) phải có 2 nghiệm \(t\) trái dấu \( \Leftrightarrow ac < 0 \Leftrightarrow m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < - 1\).

Vậy \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.