Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\sin 2x + \sqrt 2 \sin \left( {x -

Câu hỏi số 428978:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\sin 2x + \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) - m = 0\) có nghiệm?

A. \(3\)

B. \(4\)

C. \(5\)

D. \(6\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:428978

Phương pháp giải

- Biến đổi \(\sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x - \cos x\). Đặt \(t = \sin x - \cos x\), tìm khoảng giá trị của \(t\), biến đổi và tính \(\sin x\cos x\) theo \(t\).

- Đưa phương trình về dạng \(f\left( t \right) = m\) trong đó \(f\left( t \right)\) là hàm số bậc hai.

- Lập BBT hàm số \(y = f\left( t \right)\), tìm điều kiện để phương trình \(f\left( t \right) = m\) có nghiệm.

Giải chi tiết

Ta có: \(\sin 2x + \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) - m = 0\) \( \Leftrightarrow 2\sin x\cos x + \sin x - \cos x - m = 0\).

Đặt \(t = \sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\), \(t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\) ta có \(\sin x\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{2}\).

Khi đó phương trình đã cho trở thành:

\(1 - {t^2} + t - m = 0 \Leftrightarrow - {t^2} + t + 1 = m\,\,\left( * \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = - {t^2} + t + 1\) trên \(\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\) ta có BBT:

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(f\left( t \right) = - {t^2} + t + 1\) và đường thẳng \(y = m\).

Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có nghiệm \(t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\) \( \Leftrightarrow - 1 - \sqrt 2 \le m \le \dfrac{5}{4}\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1} \right\}\).

Vậy có 4 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.