Cho tam giác \(ABC\) thỏa mãn \(\cos A\cos B\cos C = \dfrac{1}{8}\) thì:

Câu hỏi số 429849:

Vận dụng

A. Tam giác \(ABC\) cân.

B. Tam giác \(ABC\) vuông.

C. Tam giác \(ABC\) đều.

D. Không tồn tại tam giác \(ABC\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:429849

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức \(\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]\) .

- Thêm bớt để tạo hằng đẳng thức, đánh giá.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\cos A\cos B\cos C = \dfrac{1}{8}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\cos C.\left[ {\cos \left( {A + B} \right) + \cos \left( {A - B} \right)} \right] = \dfrac{1}{8}\\ \Leftrightarrow \cos C.\left[ {\cos \left( {\pi - C} \right) + \cos \left( {A - B} \right)} \right] = \dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow \cos C.\left[ { - \cos C + \cos \left( {A - B} \right)} \right] = \dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}C - \cos C.\cos \left( {A - B} \right) = - \dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}C - 2\cos C.\dfrac{1}{2}\cos \left( {A - B} \right) + \dfrac{1}{4}{\cos ^2}\left( {A - B} \right) - \dfrac{1}{4}{\cos ^2}\left( {A - B} \right) = - \dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow {\left[ {\cos C - \dfrac{1}{2}\cos \left( {A - B} \right)} \right]^2} - \dfrac{1}{4}{\cos ^2}\left( {A - B} \right) = - \dfrac{1}{4}\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left[ {\cos C - \dfrac{1}{2}\cos \left( {A - B} \right)} \right]^2} \ge 0\\0 \le {\cos ^2}\left( {A - B} \right) \le 1 \Leftrightarrow 0 \ge - \dfrac{1}{4}{\cos ^2}\left( {A - B} \right) \ge - \dfrac{1}{4}\\ \Rightarrow {\left[ {\cos C - \dfrac{1}{2}\cos \left( {A - B} \right)} \right]^2} - \dfrac{1}{4}{\cos ^2}\left( {A - B} \right) \ge - \dfrac{1}{4}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos C = \dfrac{1}{2}\cos \left( {A - B} \right)\\\cos \left( {A - B} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = B\\\cos C = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = B\\C = {60^0}\end{array} \right.\).

Vậy tam giác \(ABC\) là tam giác đều.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.