Giải hệ phương trình

Câu hỏi số 43073:

$\left\{\begin{matrix} x + y + 1 + x\sqrt{x^2 + 2} + (y + 1)\sqrt{y^2 + 2y + 3} = 0 & \\ 30^{x - y} = 41(x - y)) - 4^{x - y + 1} \end{matrix}\right.$

A. (0; -1), (- $\frac{1}{2}$ ; $\frac{1}{2}$ )

B. (0; -1), ( $\frac{1}{2}$ ; - $\frac{1}{2}$ )

C. (0; 1), (- $\frac{1}{2}$ ; - $\frac{1}{2}$ )

D. (0; -1), (- $\frac{1}{2}$ ; - $\frac{1}{2}$ )

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:43073

Giải chi tiết

Đặt a = x – y, phương trình (2) trở thành 30^a + 4^{a + 1} – 41a – 5 = 0.

Xét f(a) = 30^a + 4^{a + 1} – 41a – 5, ∀a

f’(a) = 30^aln30 + 4^{a + 1} ln4 – 41

f’’(a) = 30^aln²30 + 4^{a + 1} ln²4 > 0, ∀a

Khi đó f(a) có không quá 1 cực trị hay f(a) = 0 không có quá 2 nghiệm (3).

mà f(0) = f(1) = 0 (4).

Từ (3) và (4) => phương trình (2) ⇔ $[\begin{matrix} x - y = 0 & \\ x - y = 1 & \end{matrix}$

+ với x - y = 1 ⇔ x = y + 1,

(1) ⇔ 2x(1 + $\sqrt{x^2 + 2}$ ) = 0 ⇔ x = 0

=> (x; y) = (0; -1) là nghiệm của hệ đã cho.

+ với x - y = 0 ⇔ x = y

(1) ⇔ x(1 + $\sqrt{x^2 + 2}$ ) + (x + 1)(1 + $\sqrt{(x + 1)^2 + 2}$ ) = 0

Đặt $\left\{\begin{matrix} u = \sqrt{x^2 + 2} & \\ v = \sqrt{x^2 + 2x + 3} & \end{matrix}\right.$ (u, v > 0) => $\left\{\begin{matrix} u^{2} = x^2 + 2 & \\ v^{2} = x^2 + 2x + 3 & \end{matrix}\right.$

<=>

Phương trình (1) trở thành (u - v)[(u + v)(1 + $\frac{v + u}{2}$ ) + 1/2]

⇔ u = v (vì u, v >0)

khi đó ta có (1) ⇔ $\sqrt{x^2 + 2}$ = $\sqrt{x^2 + 2x + 3}$ ⇔ x = -1/2

suy ra nghiệm của hệ (x;y) = (-1/2; -1/2)

Vậy hệ phương trình có 2 nghiêm (0; -1), (-1/2; -1/2)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.