Cho \(\Delta ABC\) có trọng tâm \(G.\) Các điểm \(M,\,\,N\) thỏa mãn 3\(\overrightarrow {MA} +

Câu hỏi số 431501:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) có trọng tâm \(G.\) Các điểm \(M,\,\,N\) thỏa mãn 3\(\overrightarrow {MA} + 4\overrightarrow {MB} = \vec 0\), \(\overrightarrow {CN} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC} \). Chứng minh: \(MN\) đi qua trọng tâm \(G\) của \(\Delta ABC.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:431501

Phương pháp giải

Biểu diễn vecto \(\overrightarrow {MG} ,\,\,\overrightarrow {MN} \) theo các vecto \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} \) sau đó chứng minh \(\overrightarrow {MG} = k\overrightarrow {MN} \) \( \Rightarrow M,\,\,N,\,\,G\) thẳng hàng hay \(MN\) đi qua \(G.\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\overrightarrow {MG} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AG} = - \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AG} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MG} = \dfrac{{ - 4}}{7}\overrightarrow {AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AI} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MG} = \dfrac{{ - 4}}{7}\overrightarrow {AB} + \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MG} = \dfrac{{ - 4}}{7}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} \) \( = - \dfrac{5}{{21}}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)\( = \dfrac{3}{7}\overrightarrow {AB} + \dfrac{3}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right)\)

\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BN} \)\( = \dfrac{3}{7}\overrightarrow {AB} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow {BC} \)\(\overrightarrow {MN} = \dfrac{3}{7}\overrightarrow {AB} - \dfrac{3}{2}\overrightarrow {AB} \) + \(\dfrac{3}{2}\overrightarrow {AC} \)= \(\dfrac{{ - 15}}{{14}}\overrightarrow {AB} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow {AC} \) .

Ta có: \(\overrightarrow {MG} = - \dfrac{5}{{21}}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)\( = - \dfrac{5}{{21}}\left( {\overrightarrow {AB} - \dfrac{1}{3}.\dfrac{{21}}{5}\overrightarrow {AC} } \right)\)\( = - \dfrac{5}{{21}}\left( {\overrightarrow {AB} - \dfrac{7}{5}\overrightarrow {AC} } \right)\)

\(\;\overrightarrow {MN} = \dfrac{{ - 15}}{{14}}\overrightarrow {AB} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow {AC} \) \( = \dfrac{{ - 15}}{{14}}\left( {\overrightarrow {AB} - \dfrac{3}{2}.\dfrac{{14}}{{15}}\overrightarrow {AC} } \right)\)\( = \dfrac{{ - 15}}{{14}}\left( {\overrightarrow {AB} - \dfrac{7}{5}\overrightarrow {AC} } \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MG} = \dfrac{2}{9}\overrightarrow {MN} \)

\( \Rightarrow M,\,\,G,\,\,N\) thẳng hàng

\( \Rightarrow MN\) đi qua \(G\) (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.