Cho tứ diện \(ABCD\), gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\), \(M\) là trung điểm của \(CD\), \(I\)

Câu hỏi số 433335:

Vận dụng

Cho tứ diện \(ABCD\), gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\), \(M\) là trung điểm của \(CD\), \(I\) là điểm trên đoạn thẳng \(AG\).

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABG} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\).

b) Xác định giao điểm \(J\) của \(BI\) với mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\). Tính tỉ số giữa \(AI\) và \(AG\) để diện tích tam giác \(ACD\) bằng 2 lần diện tích tam giác \(JCD\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:433335

Phương pháp giải

a) Xác định 2 điểm chung của hai mặt phẳng, từ đó xác định giao tuyến.

b) Xác định \(J\) là giao điểm của \(BI\) và một đường thẳng nằm trong \(\left( {ACD} \right)\).

Sử dụng định lí Menelaus để tính tỉ số.

Giải chi tiết

a) Xét \(\left( {ABG} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\) có:

+ \(A\) là điểm chung thứ nhất.

+ Trong \(\left( {BCD} \right)\) ta có: \(M = BG \cap CD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \in BG \subset \left( {ABG} \right)\\M \in CD \subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow M \in \left( {ABG} \right) \cap \left( {ACD} \right)\).

Vậy \(\left( {ABG} \right) \cap \left( {ACD} \right) = AM\).

b) Trong \(\left( {ABM} \right)\) gọi \(J = BI \cap AM\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}J \in BI\\J \in AM \subset \left( {ACD} \right) \Rightarrow J \in \left( {ACD} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow J = BI \cap \left( {ACD} \right)\).

Ta có: \(\dfrac{{{S_{JCD}}}}{{{S_{ACD}}}} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{{JM}}{{AM}} \Rightarrow \dfrac{{JM}}{{JA}} = 1\).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(AGM\) ta có:

\(\dfrac{{BG}}{{BM}}.\dfrac{{JM}}{{JA}}.\dfrac{{IA}}{{IG}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{2}{3}.1.\dfrac{{IA}}{{IG}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{IA}}{{IG}} = \dfrac{3}{2}\) \( \Rightarrow \dfrac{{AI}}{{AG}} = \dfrac{3}{5}\).

Vậy để \({S_{ACD}} = 2{S_{JCD}}\) thì \(\dfrac{{AI}}{{AG}} = \dfrac{3}{5}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.