Cho tứ diện \(ABCD\), gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\), \(M\) là trung điểm của \(CD\), \(I\)

Câu hỏi số 433335:

Vận dụng

Cho tứ diện \(ABCD\), gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\), \(M\) là trung điểm của \(CD\), \(I\) là điểm trên đoạn thẳng \(AG\).

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABG} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\).

b) Xác định giao điểm \(J\) của \(BI\) với mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\). Tính tỉ số giữa \(AI\) và \(AG\) để diện tích tam giác \(ACD\) bằng 2 lần diện tích tam giác \(JCD\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:433335

Phương pháp giải

a) Xác định 2 điểm chung của hai mặt phẳng, từ đó xác định giao tuyến.

b) Xác định \(J\) là giao điểm của \(BI\) và một đường thẳng nằm trong \(\left( {ACD} \right)\).

Sử dụng định lí Menelaus để tính tỉ số.

Giải chi tiết

a) Xét \(\left( {ABG} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\) có:

+ \(A\) là điểm chung thứ nhất.

+ Trong \(\left( {BCD} \right)\) ta có: \(M = BG \cap CD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \in BG \subset \left( {ABG} \right)\\M \in CD \subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow M \in \left( {ABG} \right) \cap \left( {ACD} \right)\).

Vậy \(\left( {ABG} \right) \cap \left( {ACD} \right) = AM\).

b) Trong \(\left( {ABM} \right)\) gọi \(J = BI \cap AM\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}J \in BI\\J \in AM \subset \left( {ACD} \right) \Rightarrow J \in \left( {ACD} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow J = BI \cap \left( {ACD} \right)\).

Ta có: \(\dfrac{{{S_{JCD}}}}{{{S_{ACD}}}} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{{JM}}{{AM}} \Rightarrow \dfrac{{JM}}{{JA}} = 1\).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(AGM\) ta có:

\(\dfrac{{BG}}{{BM}}.\dfrac{{JM}}{{JA}}.\dfrac{{IA}}{{IG}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{2}{3}.1.\dfrac{{IA}}{{IG}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{IA}}{{IG}} = \dfrac{3}{2}\) \( \Rightarrow \dfrac{{AI}}{{AG}} = \dfrac{3}{5}\).

Vậy để \({S_{ACD}} = 2{S_{JCD}}\) thì \(\dfrac{{AI}}{{AG}} = \dfrac{3}{5}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.