Đường thẳng d : \(y = x + 4\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 4\)

Câu hỏi số 434287:

Thông hiểu

Đường thẳng d : \(y = x + 4\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 4\) tại 3 điểm phân biệt \(A\left( {0;4} \right),\,\,B\) và C sao cho diện tích tam giác MBC bằng 4, với \(M\left( {1;3} \right)\). Tìm tất cả các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

A. \(m = 2\) hoặc \(m = 3\).

B. \(m = - 2\) hoặc \(m = 3.\)

C. \(m = 3.\)

D. \(m = - 2\) hoặc \(m = - 3.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:434287

Phương pháp giải

- Tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số.

- Áp dụng định lí Vi-et.

- Sử dụng công thức tính diện tích tam giác \({S_{\Delta MBC}} = \dfrac{1}{2}.BC.d\left( {M;BC} \right)\).

Giải chi tiết

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = x + 4\) và \(y = {x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 4\) là nghiệm của phương trình:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,x + 4 = {x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 4\\ \Leftrightarrow {x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 2mx + m + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} + 2mx + m + 2 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Vì đồ thị hai hàm số cắt nhau tại 3 điểm phân biệt nên phương trình \({x^2} + 2mx + m + 2 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m - 2 > 0\\m + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 1\end{array} \right.\\m \ne - 2\end{array} \right.\).

Gọi \(B\left( {{x_1};{x_1} + 4} \right);\,\,C\left( {{x_2};{x_2} + 4} \right)\) với \({x_1},\,\,{x_2}\) là 2 nghiệm phân biệt của phương trình \({x^2} + 2mx + m + 2 = 0\).

Áp dụng Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2m\\{x_1}.{x_2} = m + 2\end{array} \right.\)

Ta có: \(BC = \sqrt {2{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} = \sqrt {2\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}.{x_2}} \right]} = \sqrt {2\left( {4{m^2} - 4m - 8} \right)} \)

\(d\left( {M;BC} \right) = d\left( {M;\left( d \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1 - 3 + 4} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{\Delta MBC}} = \dfrac{1}{2}.BC.d\left( {M;BC} \right) = 4\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.\sqrt 2 .\sqrt {2\left( {4{m^2} - 4m - 8} \right)} = 4\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m - 8 = 16\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m - 24 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {TM} \right)\\m = - 2\,\,\,\,\,\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m = 3\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.