Cho hình bình bình hành \(ABCD\,\,\left( {AB > AD} \right)\). Gọi \(E\) và \(K\) lần lượt là trung

Câu hỏi số 434383:

Vận dụng

Cho hình bình bình hành \(ABCD\,\,\left( {AB > AD} \right)\). Gọi \(E\) và \(K\) lần lượt là trung điểm của \(CD\) và \(AB.\)\(BD\) cắt \(AE,\,\,AC\) và \(CK\) lần lượt tại \(N,\,\,O\) và \(I\). Chứng minh rằng

a) Tứ giác \(AECK\) là hình bình hành.

b) Ba điểm \(E,\,\,O,\,\,K\) thẳng hàng.

c) \(DN = NI = IB\)

d) \(AE = 3KI\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:434383

Phương pháp giải

a) Áp dụng dấu hiệu nhận biết hình bình hành.

b) Áp dụng tính chất của hình bình hành.

c) Áp dụng tính chất đường trung bình trong tam giác.

d) Áp dụng tính chất đường trung bình trong tam giác, cộng đoạn thẳng.

Giải chi tiết

a) Tứ giác \(AECK\) là hình bình hành.

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên: \(\left\{ \begin{array}{l}AB\,{\rm{//}}\,CD\\AB = CD\end{array} \right.\) (tính chất của hình bình hành)

Mà \(E,\,\,K\) lần lượt là trung điểm của \(CD\) và \(AB\) nên \(AK = EC = \dfrac{1}{2}AB\) và \(AK\,{\rm{//}}\,EC\).

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(AECK\) là hình bình hành (dhnb).

b) Ba điểm \(E,\,\,O,\,\,K\) thẳng hàng.

Trong hình bình hành \(ABCD\) có \(O\) là giao điểm của hai đường chéo nên \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\) (tính chất của hình bình hành).

Mà \(AECK\) là hình bình hành (cmt) nên \(O\) là trung điểm của \(EK\).

\( \Rightarrow \) Ba điểm \(E,\,\,O,\,\,K\) thẳng hàng.

c) \(DN = NI = IB\)

Vì \(AECK\) là hình bình hành nên \(AE\,{\rm{//}}\,CK\) (tính chất của hình bình hành)

Xét \(\Delta DIC\) ta có: \(\left. \begin{array}{l}ED = EC\,\,\,\left( {gt} \right)\\EN\,{\rm{//}}\,CI\,\,\,\left( {AE//CK} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow DN = NI\) (định lý đảo)

Tương tự, xét \(\Delta ABN\) ta có: \(\left. \begin{array}{l}KA = KB\left( { = \dfrac{1}{2}AB} \right)\\KI\,{\rm{//}}\,AN\,\,\,\left( {KC//AE} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BI = NI\) (định lý đảo)

\( \Rightarrow DN = BI = NI\) (đpcm).

d) \(AE = 3KI\)

Ta có: \(KI\) là đường trung bình của \(\Delta ABN\,\,\left( {cmt} \right)\)\( \Rightarrow KI = \dfrac{1}{2}AN\)

\(EN\) là đường trung bình của \(\Delta DCI\,\,\left( {cmt} \right)\)\( \Rightarrow EN = \dfrac{1}{2}IC\)

\( \Rightarrow AE = AN + NE = 2KI + \dfrac{1}{2}IC\)\( = \dfrac{3}{2}KI + \dfrac{1}{2}KI + \dfrac{1}{2}IC = \dfrac{3}{2}KI + \dfrac{1}{2}KC\)

\( \Rightarrow AE = \dfrac{3}{2}KI + \dfrac{1}{2}AE\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{2}AE = \dfrac{3}{2}KI \Rightarrow AE = 3KI\)

Vậy \(AE = 3KI\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link