Cho \(A\left( {1; - 1} \right),\,B\left( {3;2} \right).\) Tìm M trên trục Oy sao cho \(M{A^2} + M{B^2}\) nhỏ

Câu hỏi số 434442:

Vận dụng

Cho \(A\left( {1; - 1} \right),\,B\left( {3;2} \right).\) Tìm M trên trục Oy sao cho \(M{A^2} + M{B^2}\) nhỏ nhất.

A. \(M\left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)\).

B. \(M\left( {0; - \dfrac{1}{2}} \right)\).

C. \(M\left( {0;1} \right)\).

D. \(M\left( {0; - 1} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:434442

Phương pháp giải

Cho hai điểm \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right);A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) có \(M{A^2} = {\left( {{x_A} - {x_M}} \right)^2} + {\left( {{y_A} - {y_M}} \right)^2}\).

Tính tổng \(M{A^2} + M{B^2}\) theo \({x_M};{y_M}\) và tìm giá trị nhỏ nhất dựa vào hằng đẳng thức

Giải chi tiết

Gọi \(M\left( {0;a} \right) \in Oy\) là điểm cần tìm.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M{A^2} = 1 + {\left( { - 1 - a} \right)^2}\\M{B^2} = {3^2} + {\left( {2 - a} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Rightarrow M{A^2} + M{B^2} = 10 + 1 + 2a + {a^2} + 4 - 4a + {a^2}\\ = 2{a^2} - 2a + 15 = 2\left( {a - 2.\dfrac{1}{2}a + \dfrac{1}{4}} \right) + \dfrac{{29}}{2}\\ = {\left( {a - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{29}}{2} \ge \dfrac{{29}}{2}.\end{array}\)

Vậy \(M{A^2} + M{B^2}\) nhỏ nhất bằng \(\dfrac{{29}}{2} \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{2} \Rightarrow M\left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.