Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x + y + z)2 + (

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 43502:

Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: x² + y² + z²= 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = (x + y + z)² + $\frac{1}{2}$ ( $\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{xyz}$ - $\frac{1}{xy+yz+zx}$ )

A. A_min = 2

B. A_min = 3

C. A_min = 4

D. A_min = 5

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:43502

Giải chi tiết

Ta có (x + y + z)² = x² + y² + z²+ 2(xy + yz + xz) = 1 + 2(xy + yz + xz)

x³ + y³ + z³= 3xyz + (x + y + z)[x² + y² + z²- (xy + yz + xz)]

= 3xyz + (x + y + z)[1 - (xy + yz + xz)]

⇔ $\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{xyz}$ = 3 + ( $\frac{1}{yz}$ + $\frac{1}{xz}$ + $\frac{1}{xy}$ )[1 - (xy + yz + xz)]

Áp dụng BĐT cô-si ta được: $\frac{1}{yz}$ + $\frac{1}{xz}$ + $\frac{1}{xy}$ ≥ $\frac{9}{xy+yz+xz}$

Suy ra: $\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{xyz}$ ≥ 3 + $\frac{9}{xy+yz+xz}$ [1 - (xy + yz + xz)]

Đặt t = xy + yz + xz

Vì xy ≤ $\frac{x^{2}+y^{2}}{2}$ , yz ≤ $\frac{z^{2}+y^{2}}{2}$ , xz ≤ $\frac{z^{2}+x^{2}}{2}$

=> xy + yz + xz ≤ x² + y² + z²= 1

=> 0 < t ≤ 1

Suy ra: A ≥ 1+ 2t + $\frac{1}{2}$ [3 + $\frac{9}{t}$ (1 - t) - $\frac{1}{t}$ ] = B

Ta có B = -2 + 2t + $\frac{4}{t}$ = -2 + 2t + $\frac{2}{t}$ + $\frac{2}{t}$ ≥ -2 + 2 $\sqrt{2t.\frac{2}{t}}$ + $\frac{2}{t}$

=> B ≥ 2 + $\frac{2}{t}$ ≥ 4

Vậy A ≥ 4 ⇔ A_min = 4. Dấu "=" xảy ra: $\left\{\begin{matrix} xy+yz+xz=1 & & \\ xy=yz=xz & & \\ x=y=z & & \end{matrix}\right.$

⇔ x = y = z = $\frac{1}{\sqrt{3}}$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.