Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (T) đường kính AB = 2R. C là một điểm di động trên (T). Trên đường thẳng d vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho SA = R. H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SC. Tìm tập hợp điểm K khi C chạy trên (T). Tìm giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SAHK.

Câu hỏi số 43504:

A. Max V = $\frac{R^{3}\sqrt{5}}{61}$

B. Max V = $\frac{R^{3}\sqrt{5}}{70}$

C. Max V = $\frac{R^{3}\sqrt{5}}{75}$

D. Max V = $\frac{R^{3}\sqrt{5}}{45}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:43504

Giải chi tiết

Ta chứng minh được SB ⊥ (AHK) suy ra mặt phẳng (AHK) cố định. Điểm K luôn nhìn đoạn AH dưới một góc vuông nên tập hợp điểm K là đường tròn đường kính AH nằm trong mặt phẳng (AHK).

Tứ diện SAHK có đường cao SH không đổi nên có thể tích lớn nhất khi diện tích đáy AHK lớn nhất.

Tam giác AHK nội tiếp trong đường tròn cố định đường kính AH nên có diện tích lớn nhất khi K là điểm chính giữa của cung tròn AH (có 2 vị trí của K trên đường tròn đường kính AH)

Ta có SB² = SA² + AB² = R² + 4R² = 5R² => SB = R√5

Lại có AH.SB = SA.AB =>AH = $\frac{SA.AB}{SB}$ = $\frac{R.2R}{R\sqrt{5}}=\frac{2R}{\sqrt{5}}$

SA² = SH.SB =>SH = $\frac{SA^{2}}{SB}$ = $\frac{R^{2}}{R\sqrt{5}}$ = $\frac{R}{\sqrt{5}}$

Thể tích V_SAHK lớn nhất khi AK.KH lớn nhất khi AK = KH

Hay 2AK² = AH² => AK² = $\frac{2R^{2}}{5}$

Vậy Max V_SAHK = $\frac{1}{3}$ SH. $\frac{1}{2}$ AH² = $\frac{1}{3}$ . $\frac{R\sqrt{5}}{5}$ . $\frac{1}{2}$ . $\frac{2R^{2}}{5}$ = $\frac{R^{3}\sqrt{5}}{75}$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.