Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(\left( {2\sin x - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) =

Câu hỏi số 435818:

Vận dụng

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(\left( {2\sin x - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = {\sin ^2}x\) là:

A. \(x = \dfrac{\pi }{6}\)

B. \(x = \dfrac{{5\pi }}{6}\)

C. \(x = \pi \)

D. \(x = \dfrac{\pi }{{12}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:435818

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức \({\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x\), áp dụng hằng đẳng thức.

- Đưa phương trình về dạng tích, giải phương trình tích.

- Giải bất phương trình \(x > 0\), tìm các số nguyên \(k\) nhỏ nhất thỏa mãn, từ đó tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {2\sin x - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = {\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = 1 - {\cos ^2}x\\ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = \left( {1 + \cos x} \right)\left( {1 - \cos x} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {2\sin x - \cos x - 1 + \cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {2\sin x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = - 1\\\sin x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pi + k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

+ Xét họ nghiệm \(x = \pi + k2\pi \).

Ta có: \(x > 0 \Leftrightarrow \pi + k2\pi > 0 \Leftrightarrow k > - \dfrac{1}{2}\).

\( \Rightarrow {k_{\min }} = 0 \Rightarrow {x_{\min }} = \pi \).

+ Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \).

Ta có: \(x > 0 \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{6} + k2\pi > 0 \Leftrightarrow k > - \dfrac{1}{{12}}\).

\( \Rightarrow {k_{\min }} = 0 \Leftrightarrow {x_{\min }} = \dfrac{\pi }{6}\).

+ Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \).

Ta có: \(x > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi > 0 \Leftrightarrow k > - \dfrac{5}{{12}}\).

\( \Rightarrow {k_{\min }} = 0 \Leftrightarrow {x_{\min }} = \dfrac{{5\pi }}{6}\).

Xét ba nghiệm \(x = \pi ,\,\,x = \dfrac{\pi }{6},\,\,x = \dfrac{{5\pi }}{6}\) ta thấy nghiệm nhỏ nhất là \(x = \dfrac{\pi }{6}\).

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là \(x = \dfrac{\pi }{6}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.