Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(\left( {2\sin x - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = {\sin ^2}x\) là:

Câu 435818:

A. \(x = \dfrac{\pi }{6}\)

B. \(x = \dfrac{{5\pi }}{6}\)

C. \(x = \pi \)

D. \(x = \dfrac{\pi }{{12}}\)

Câu hỏi : 435818

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức \({\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x\), áp dụng hằng đẳng thức.

- Đưa phương trình về dạng tích, giải phương trình tích.

- Giải bất phương trình \(x > 0\), tìm các số nguyên \(k\) nhỏ nhất thỏa mãn, từ đó tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình.

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {2\sin x - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = {\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = 1 - {\cos ^2}x\\ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = \left( {1 + \cos x} \right)\left( {1 - \cos x} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {2\sin x - \cos x - 1 + \cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {2\sin x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = - 1\\\sin x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pi + k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

+ Xét họ nghiệm \(x = \pi + k2\pi \).

Ta có: \(x > 0 \Leftrightarrow \pi + k2\pi > 0 \Leftrightarrow k > - \dfrac{1}{2}\).

\( \Rightarrow {k_{\min }} = 0 \Rightarrow {x_{\min }} = \pi \).

+ Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \).

Ta có: \(x > 0 \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{6} + k2\pi > 0 \Leftrightarrow k > - \dfrac{1}{{12}}\).

\( \Rightarrow {k_{\min }} = 0 \Leftrightarrow {x_{\min }} = \dfrac{\pi }{6}\).

+ Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \).

Ta có: \(x > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi > 0 \Leftrightarrow k > - \dfrac{5}{{12}}\).

\( \Rightarrow {k_{\min }} = 0 \Leftrightarrow {x_{\min }} = \dfrac{{5\pi }}{6}\).

Xét ba nghiệm \(x = \pi ,\,\,x = \dfrac{\pi }{6},\,\,x = \dfrac{{5\pi }}{6}\) ta thấy nghiệm nhỏ nhất là \(x = \dfrac{\pi }{6}\).

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là \(x = \dfrac{\pi }{6}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.