Tìm tham số \(m\) để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số

Câu hỏi số 435991:

Vận dụng

Tìm tham số \(m\) để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng?

\({x^4} - 2\left( {1 - m} \right){x^2} - 2m + 1 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)

A. \(m = - 16 \pm 7\sqrt 7 \)

B. \(\left[ \begin{array}{l}m = \frac{4}{9}\\m = - 4\end{array} \right.\).

C. \(m = 16 \pm 4\sqrt 7 \)

D. \(m = - 4 \pm 16\sqrt 7 \)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:435991

Giải chi tiết

Đặt \(t = {x^2} \ge 0,\,\,\,\left( 1 \right)\) trở thành: \({t^2} - 2\left( {1 - m} \right)t - 2m + 1 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\)

Phương trình (1) có 4 nghiệm x phân biệt \( \Leftrightarrow \) Phương trình (2) có 2 nghiệm t dương phân biệt: \({t_2} > {t_1} > 0\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 - m} \right)^2} - \left( { - 2m + 1} \right) > 0\\2\left( {1 - m} \right) > 0\\ - 2m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} > 0\\m < 1\\m < \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m < \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

Và khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm x phân biệt là: \( - \sqrt {{t_2}} ;\, - \sqrt {{t_1}} ;\,\,\sqrt {{t_1}} ;\,\,\sqrt {{t_2}} \).

4 nghiệm này lập thành CSC khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l} - \sqrt {{t_2}} + \sqrt {{t_1}} = - 2\sqrt {{t_1}} \\ - \sqrt {{t_1}} + \sqrt {{t_2}} = 2\sqrt {{t_1}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{t_2}} = 3\sqrt {{t_1}} \\\sqrt {{t_2}} = 3\sqrt {{t_1}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \sqrt {{t_2}} = 3\sqrt {{t_1}} \Leftrightarrow {t_2} = 9{t_1}\).

Theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} = 2\left( {1 - m} \right)\\{t_1}{t_2} = - 2m + 1\end{array} \right.\).

Thay \({t_2} = 9{t_1}\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + 9{t_1} = 2\left( {1 - m} \right)\\{t_1}.9{t_1} = - 2m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = \dfrac{{1 - m}}{5}\\9t_1^2 = - 2m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = \dfrac{{1 - m}}{5}\\9.{\left( {\dfrac{{1 - m}}{5}} \right)^2} = - 2m + 1\end{array} \right.\)

Suy ra

\(\left[ \begin{array}{l}m = \frac{4}{9}\\m = - 4\end{array} \right.\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.