Cho hai đường thẳng y = a1x + b1 (d1) và y = a2x + b2 (d2) vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Chứng minh rằng (d1) và (d2) vuông góc với nhau khi và chỉ khi a1.a2 = -1

Câu hỏi số 43648:

Cho hai đường thẳng y = a₁x + b₁ (d₁) và y = a₂x + b₂ (d₂) vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Chứng minh rằng (d₁) và (d₂) vuông góc với nhau khi và chỉ khi a₁.a₂ = -1

A. Click để xem lời giải.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:43648

Giải chi tiết

Cho hai đường thẳng:

y = a₁x + b₁ (d₁)

y = a₂x + b₂ (d₂)

Ta phải chứng minh (d₁) ⊥ (d₂) => a₁.a₂ = -1

Qua O vẽ hai đường thẳng :

(d'₁) : y = a₁x

(d'₂) : y = a₂x

Hiển nhiên (d₁) // (d'₁) , (d₂) // (d'₂).

+) Trước tiên ta chứng minh (d₁) ⊥ (d₂) => a₁.a₂ = -1.

Giả sử a₁> 0 (không làm mất tính tổng quát của bài toán) suy ra a₂< 0

(vì (d'₁) ⊥ (d'₂)).

Đường thẳng (d'₁) đi qua điểm A(1; a_{1 )}

Đường thẳng (d'₂) đi qua điểm B (1; a₂)

Hiển nhiên AB // Oy nên AB ⊥ Ox tại I có OI = 1. Vì (d'₁) ⊥ (d'₂)

=> góc AOB là góc vuông. Trong tam giác vuông AOB , OI là đường cao thuộc cạnh huyền , vậy ta có:

IA.IB = OI² = 1 => a₁.|a₂| = 1

Vì a₂< 0 nên - a₁.a₂ = 1 hay a₁.a₂ = -1

+) Ngược lại, với a₁.a₂ = -1 ta phải chứng minh (d'₁) ⊥ (d'₂)

Thật vậy, nếu a₁.a₂ = -1 => a₁.|a₂| = 1.

=> IA.IB = OI²

=> $\frac{IA}{OI}=\frac{OI}{IB}$ => ∆ IAO $\bigtriangleup IAO \sim \bigtriangleup IOB$ ∆IOB

=> $\widehat{OBI}=\widehat{AOI}$ mà $\widehat{AOI}+\widehat{OAI} = 1 v$ => $\widehat{OBI}+\widehat{OAI} = 1 v$

=> Góc AOB là góc vuông hay (d'₁) ⊥ (d'₂)

Ghi chú: Sau này khi lên học lớp trên ta sẽ chứng minh được công thức sau. Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi hai đường thẳng $y=k_{1}x+b_{1}$ và $y=k_{2}x+b_{2}$ thì

$tg \alpha =|\frac{k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}|$ khi $\alpha =\frac{\pi }{2}$ thì $1+k_{1}k_{2}=0$ <=> $k_{1}k_{2}=-1$

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link