Chứng minh rằng nếu \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 3 thì \(\left( {p + 1} \right)\left( {p - 1}

Câu hỏi số 438243:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng nếu \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 3 thì \(\left( {p + 1} \right)\left( {p - 1} \right)\) chia hết cho 24.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:438243

Phương pháp giải

Lập luận chứng minh được \(\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right)\) chia hết cho 2 số nguyên tố cùng nhau là 3 và 8.

Từ đó suy ra \(\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right)\) chia hết cho 24.

Giải chi tiết

Ta có: \(\left( {p - 1} \right).p.\left( {p + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3\) mà \(U\left( {p;\,\,3} \right) = 1\) nên \(\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3\) (1)

Mặt khác \(p\) là số nguyên tố lớn hơn \(3\) nên \(p\) là số lẻ.

Do đó \(p - 1;\,p + 1\) là các số chẵn liên tiếp.

Ta có: \(p - 1;\,p + 1\) là các số chẵn liên tiếp nên có một số là bội của \(4\)

\( \Rightarrow \) Tích của chúng chia hết cho 8 (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right)\) chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau là \(3\) và \(8.\)

Vậy \(\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right)\) chia hết cho \(24.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link