Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,\,\,BC\). Điểm \(I\) thuộc \(SA\). Biết mặt phẳng \(\left( {MNI} \right)\) chia khối chóp \(S.ABCD\) thành hai phần, phần chứa đỉnh \(S\) có thể tích bằng \(\dfrac{7}{{13}}\) lần phần còn lại. Tính tỉ số \(k = \dfrac{{IA}}{{IS}}\)?
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Đặt \(\dfrac{{SI}}{{SA}} = x\,\,\left( {0 < x < 1} \right)\).
Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kéo dài \(MN\) cắt \(AD,\,\,CD\) lần lượt tại \(P,\,\,Q\).
Trong \(\left( {SAD} \right)\) kéo dài \(PI\) cắt \(SD\) tại \(E\).
Trong \(\left( {SCD} \right)\) nối \(QE\) cắt \(SC\) tại \(J\).
Khi đó \(\left( {IMN} \right)\) cắt hình chóp theo thiết diện là \(IMNJE\).
Mặt phẳng \(\left( {IMN} \right)\) chia khối chóp thành hai phần, gọi \({V_1}\) là phần thể tích chứa đỉnh \(S\) và \(V = {V_{S.ABCD}}\).
Khi đó ta có \(\dfrac{{{V_1}}}{V} = \dfrac{7}{{20}}\).
Ta có: \({V_1} = {V_{S.BMN}} + {V_{S.MNI}} + {V_{S.INJ}} + {V_{IJE}}\).
+) \(\dfrac{{{V_{S.BMN}}}}{V} = \dfrac{{{S_{BMN}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{BM}}{{BA}}.\dfrac{{BN}}{{BC}} = \dfrac{1}{8}\) \( \Rightarrow {V_{S.BMN}} = \dfrac{V}{8}\).
+) \(\dfrac{{{V_{S.MNI}}}}{{{V_{S.MNA}}}} = \dfrac{{SI}}{{SA}} = x \Rightarrow {V_{S.MNI}} = x{V_{S.MNA}}\)
\(\dfrac{{{V_{S.MNA}}}}{V} = \dfrac{{{S_{MNA}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}{S_{ABN}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{1}{8} \Rightarrow {V_{S.MNA}} = \dfrac{1}{8}V\)
\( \Rightarrow {V_{S.MNI}} = \dfrac{x}{8}V\).
+) \(\dfrac{{{V_{S.INJ}}}}{{{V_{S.ANC}}}} = \dfrac{{SI}}{{SA}}.\dfrac{{SJ}}{{SC}}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {IMN} \right) \cap \left( {SAC} \right) = IJ\\\left( {IMN} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\\\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AC\end{array} \right.\), lại có \(MN//AC\) (do \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\))
\( \Rightarrow IJ//MN\) \( \Rightarrow \dfrac{{SI}}{{SA}} = \dfrac{{SJ}}{{SC}} = x\).
\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.INJ}}}}{{{V_{S.ANC}}}} = \dfrac{{SI}}{{SA}}.\dfrac{{SJ}}{{SC}} = {x^2} \Rightarrow {V_{S.INJ}} = {x^2}{V_{S.ANC}}\).
\(\dfrac{{{V_{S.ANC}}}}{V} = \dfrac{{{S_{ANC}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}{S_{ABC}}}}{{ABCD}} = \dfrac{1}{4}\)
\( \Rightarrow {V_{S.INJ}} = \dfrac{{{x^2}}}{4}V\).
+) \(\dfrac{{{V_{S.IJE}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \dfrac{{SI}}{{SA}}.\dfrac{{SJ}}{{SC}}.\dfrac{{SE}}{{SD}} = {x^2}\dfrac{{SE}}{{SD}}\).
Dễ dàng chứng minh được \(\Delta BMN = \Delta CQN\,\,\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow BM = CQ = \dfrac{1}{2}CD\).
\( \Rightarrow DQ = 3CQ = 3AM\) \( \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{DQ}} = \dfrac{{PA}}{{PD}} = \dfrac{1}{3}\).
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(SAD\) ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{PA}}{{PD}}.\dfrac{{ED}}{{ES}}.\dfrac{{IS}}{{IA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{3}.\dfrac{{ED}}{{ES}}.\dfrac{x}{{1 - x}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{ED}}{{ES}} = \dfrac{{3\left( {1 - x} \right)}}{x}\\ \Rightarrow \dfrac{{ED + ES}}{{ES}} = \dfrac{{3 - 2x}}{x} \Rightarrow \dfrac{{SE}}{{SD}} = \dfrac{x}{{3 - 2x}}\end{array}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.IJE}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = {x^2}\dfrac{{SE}}{{SD}} = {x^2}.\dfrac{x}{{3 - 2x}} = \dfrac{{{x^3}}}{{3 - 2x}}\).
Mà \({V_{S.ACD}} = \dfrac{1}{2}V\) \( \Rightarrow {V_{S.IJE}} = \dfrac{{{x^3}}}{{6 - 4x}}V\).
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}{V_1} = {V_{S.BMN}} + {V_{S.MNI}} + {V_{S.INJ}} + {V_{IJE}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{V}{8} + \dfrac{x}{8}V + \dfrac{{{x^2}}}{4}V + \dfrac{{{x^3}}}{{6 - 4x}}V\\\,\,\,\,\, = \left( {\dfrac{1}{8} + \dfrac{x}{8} + \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{x^3}}}{{6 - 4x}}} \right)V\\ \Rightarrow \dfrac{1}{8} + \dfrac{x}{8} + \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{x^3}}}{{6 - 4x}} = \dfrac{7}{{20}}\end{array}\)
Thử đáp án:
Đáp án A: \(k = \dfrac{{IA}}{{IS}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \dfrac{{SI}}{{SA}} = \dfrac{2}{3}\) \( \Rightarrow \) Loại.
Đáp án B: \(k = \dfrac{{IA}}{{IS}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{SI}}{{SA}} = \dfrac{3}{5}\) \( \Rightarrow \) Thỏa mãn.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
