Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm

Câu hỏi số 440876:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,\,\,BC\). Điểm \(I\) thuộc \(SA\). Biết mặt phẳng \(\left( {MNI} \right)\) chia khối chóp \(S.ABCD\) thành hai phần, phần chứa đỉnh \(S\) có thể tích bằng \(\dfrac{7}{{13}}\) lần phần còn lại. Tính tỉ số \(k = \dfrac{{IA}}{{IS}}\)?

A. \(\dfrac{1}{2}\)

B. \(\dfrac{2}{3}\)

C. \(\dfrac{3}{4}\)

D. \(\dfrac{1}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:440876

Giải chi tiết

Đặt \(\dfrac{{SI}}{{SA}} = x\,\,\left( {0 < x < 1} \right)\).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kéo dài \(MN\) cắt \(AD,\,\,CD\) lần lượt tại \(P,\,\,Q\).

Trong \(\left( {SAD} \right)\) kéo dài \(PI\) cắt \(SD\) tại \(E\).

Trong \(\left( {SCD} \right)\) nối \(QE\) cắt \(SC\) tại \(J\).

Khi đó \(\left( {IMN} \right)\) cắt hình chóp theo thiết diện là \(IMNJE\).

Mặt phẳng \(\left( {IMN} \right)\) chia khối chóp thành hai phần, gọi \({V_1}\) là phần thể tích chứa đỉnh \(S\) và \(V = {V_{S.ABCD}}\).

Khi đó ta có \(\dfrac{{{V_1}}}{V} = \dfrac{7}{{20}}\).

Ta có: \({V_1} = {V_{S.BMN}} + {V_{S.MNI}} + {V_{S.INJ}} + {V_{IJE}}\).

+) \(\dfrac{{{V_{S.BMN}}}}{V} = \dfrac{{{S_{BMN}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{BM}}{{BA}}.\dfrac{{BN}}{{BC}} = \dfrac{1}{8}\) \( \Rightarrow {V_{S.BMN}} = \dfrac{V}{8}\).

+) \(\dfrac{{{V_{S.MNI}}}}{{{V_{S.MNA}}}} = \dfrac{{SI}}{{SA}} = x \Rightarrow {V_{S.MNI}} = x{V_{S.MNA}}\)

\(\dfrac{{{V_{S.MNA}}}}{V} = \dfrac{{{S_{MNA}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}{S_{ABN}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{1}{8} \Rightarrow {V_{S.MNA}} = \dfrac{1}{8}V\)

\( \Rightarrow {V_{S.MNI}} = \dfrac{x}{8}V\).

+) \(\dfrac{{{V_{S.INJ}}}}{{{V_{S.ANC}}}} = \dfrac{{SI}}{{SA}}.\dfrac{{SJ}}{{SC}}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {IMN} \right) \cap \left( {SAC} \right) = IJ\\\left( {IMN} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\\\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AC\end{array} \right.\), lại có \(MN//AC\) (do \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\))

\( \Rightarrow IJ//MN\) \( \Rightarrow \dfrac{{SI}}{{SA}} = \dfrac{{SJ}}{{SC}} = x\).

\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.INJ}}}}{{{V_{S.ANC}}}} = \dfrac{{SI}}{{SA}}.\dfrac{{SJ}}{{SC}} = {x^2} \Rightarrow {V_{S.INJ}} = {x^2}{V_{S.ANC}}\).

\(\dfrac{{{V_{S.ANC}}}}{V} = \dfrac{{{S_{ANC}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}{S_{ABC}}}}{{ABCD}} = \dfrac{1}{4}\)

\( \Rightarrow {V_{S.INJ}} = \dfrac{{{x^2}}}{4}V\).

+) \(\dfrac{{{V_{S.IJE}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \dfrac{{SI}}{{SA}}.\dfrac{{SJ}}{{SC}}.\dfrac{{SE}}{{SD}} = {x^2}\dfrac{{SE}}{{SD}}\).

Dễ dàng chứng minh được \(\Delta BMN = \Delta CQN\,\,\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow BM = CQ = \dfrac{1}{2}CD\).

\( \Rightarrow DQ = 3CQ = 3AM\) \( \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{DQ}} = \dfrac{{PA}}{{PD}} = \dfrac{1}{3}\).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(SAD\) ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{PA}}{{PD}}.\dfrac{{ED}}{{ES}}.\dfrac{{IS}}{{IA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{3}.\dfrac{{ED}}{{ES}}.\dfrac{x}{{1 - x}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{ED}}{{ES}} = \dfrac{{3\left( {1 - x} \right)}}{x}\\ \Rightarrow \dfrac{{ED + ES}}{{ES}} = \dfrac{{3 - 2x}}{x} \Rightarrow \dfrac{{SE}}{{SD}} = \dfrac{x}{{3 - 2x}}\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.IJE}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = {x^2}\dfrac{{SE}}{{SD}} = {x^2}.\dfrac{x}{{3 - 2x}} = \dfrac{{{x^3}}}{{3 - 2x}}\).

Mà \({V_{S.ACD}} = \dfrac{1}{2}V\) \( \Rightarrow {V_{S.IJE}} = \dfrac{{{x^3}}}{{6 - 4x}}V\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}{V_1} = {V_{S.BMN}} + {V_{S.MNI}} + {V_{S.INJ}} + {V_{IJE}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{V}{8} + \dfrac{x}{8}V + \dfrac{{{x^2}}}{4}V + \dfrac{{{x^3}}}{{6 - 4x}}V\\\,\,\,\,\, = \left( {\dfrac{1}{8} + \dfrac{x}{8} + \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{x^3}}}{{6 - 4x}}} \right)V\\ \Rightarrow \dfrac{1}{8} + \dfrac{x}{8} + \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{x^3}}}{{6 - 4x}} = \dfrac{7}{{20}}\end{array}\)

Thử đáp án:

Đáp án A: \(k = \dfrac{{IA}}{{IS}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \dfrac{{SI}}{{SA}} = \dfrac{2}{3}\) \( \Rightarrow \) Loại.

Đáp án B: \(k = \dfrac{{IA}}{{IS}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{SI}}{{SA}} = \dfrac{3}{5}\) \( \Rightarrow \) Thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.