Tiếp tuyến chung của hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2}\) và \(y = g\left( x \right) =

Câu hỏi số 441008:

Vận dụng

Tiếp tuyến chung của hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2}\) và \(y = g\left( x \right) = {x^2} - 2x + 2\) là:

A. \(4x - 4y - 1 = 0\)

B. \(x - 4y - 1 = 0\)

C. \(x + 4y - 1 = 0\)

D. \(4x + y - 1 = 0\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:441008

Phương pháp giải

+ Gọi \(d\) là tiếp tuyến chung của hai đồ thị hàm số trên và \({x_0} = a\) là hoành độ tiếp điểm của \(d\) và đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2}\). Viết phương trình đường thẳng \(d:\,\,y = mx + n\).

+ \(d\) tiếp xúc với đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}mx + n = g\left( x \right)\,\,\,\left( 1 \right)\\m = g'\left( x \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

+ Thay (2) vào (1) ta được phương trình hoành độ tiếp điểm của \(\left( d \right)\) và \(y = g\left( x \right)\). Giải phương trình tìm \(a\), \({x_0}\). Sau đó suy ra phương trình đường thẳng \(d\) cần tìm.

Giải chi tiết

Gọi \(d\) là tiếp tuyến chung của hai đồ thị hàm số trên và \({x_0} = a\) là hoành độ tiếp điểm của \(d\) và đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2}\) thì phương trình đường thẳng \(d\) là:

\(y = f'\left( x \right)\left( {x - a} \right) + {y_0} = 2a\left( {x - a} \right) + {a^2} = 2ax - {a^2}\)

Khi đó: \(d\) tiếp xúc với đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + 2 = 2ax - {a^2}\,\,\,\left( 1 \right)\\2x - 2 = 2a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Thay (2) vào (1) ta được phương trình hoành độ tiếp điểm của \(\left( d \right)\) và \(y = g\left( x \right)\):

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^2} - 2x + 2 = \left( {2x - 2} \right)x - {\left( {x - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 2 = 2{x^2} - 2x - {x^2} + 2x - 1\\ \Leftrightarrow 2x = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}\end{array}\)

Thay \(x = \dfrac{3}{2}\) vào (2) ta có \(a = x - 1 = \dfrac{1}{2} = {x_0}\).

Vậy phương trình tiếp tuyến chung là: \(y = x - \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow 4x - 4y - 1 = 0\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.