Cho hình thang vuông \(ABCD\,\) \(\left( {AB\,{\rm{//}}CD,\,\,\angle A = \angle D = {{90}^0}} \right)\) có \(AD = CD
Cho hình thang vuông \(ABCD\,\) \(\left( {AB\,{\rm{//}}CD,\,\,\angle A = \angle D = {{90}^0}} \right)\) có \(AD = CD = 2AB\). Gọi \(E\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(B\).
a) Chứng minh \(AE = 2AB\) và tứ giác \(AECD\) là hình vuông.
b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(EC\) và \(I\) là giao điểm của \(BC\) và \(DM\). Chứng minh diện tích tam giác \(DIC\) bằng diện tích tứ giác \(EBIM\).
c) Biết \(DA\) và \(CB\) cắt nhau tại \(V\). Gọi \(N\) là hình chiếu của \(I\) trên \(AD\). Chứng minh \(N{I^2} = ND.NV\).
Quảng cáo
a) + Áp dụng định nghĩa hai điểm đối xứng qua một điểm: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm \(O\) nếu \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
+ Áp dụng dấu hiệu nhận biết hình vuông: Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
b) Chứng minh: \({S_{BEC}} = {S_{DCM}}\)
c) Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông \(DNI\) và tam giác vuông \(VNI\).
a) Chứng minh \(AE = 2AB\) và tứ giác \(AECD\) là hình vuông.
Vì \(E\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(B\) nên \(B\) là trung điểm của \(AE\). Do đó, \(AE = 2AB\). (đpcm)
Theo đề bài ta có: \(AD = CD = 2AB\) \( \Rightarrow AD = CD = AE\).
Vì \(ABCD\) là hình thang vuông nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB\,{\rm{//}}\,CD\\\angle A = \angle D = {90^0}\end{array} \right.\)
Xét tứ giác \(AECD\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AE\,{\rm{//}}\,CD\,\,\,\,\left( {AB//CD} \right)\\AE = CD\,\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(AECD\) là hình bình hành (dhnb).
Mà ta lại có: \(AD = AE\,\,\,\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(AECD\) là hình thoi (dhnb)
Theo giả thiết: \(\angle A = \angle D = {90^0}\)
Suy ra, tứ giác \(AECD\) là hình vuông (dhnb).
b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(EC\) và \(I\) là giao điểm của \(BC\) và \(DM\). Chứng minh diện tích tam giác \(DIC\) bằng diện tích tứ giác \(EBIM\).
Vì tứ giác \(AECD\) là hình vuông nên \(AE = CE = CD = DA\) (định nghĩa)
Vì \(M\) là trung điểm của \(EC\) nên \(EM = CM = \frac{{CE}}{2}\).
Mà \(BE = \frac{{AE}}{2}\) và \(AE = CE\,\,\left( {cmt} \right)\) \( \Rightarrow BE = CM\)
Ta có: \(\left. \begin{array}{l}{S_{BEC}} = \frac{1}{2}.BE.CE\\{S_{DCM}} = \frac{1}{2}.CM.DC\end{array} \right\} \Rightarrow {S_{BEC}} = {S_{DCM}}\)
\( \Rightarrow {S_{BEMI}} + {S_{CMI}} = {S_{DCI}} + {S_{CMI}}\)
\( \Rightarrow {S_{BEMI}} = {S_{DCI}}\) (đpcm)
c) Biết \(DA\) và \(CB\) cắt nhau tại \(V\). Gọi \(N\) là hình chiếu của \(I\) trên \(AD\). Chứng minh \(N{I^2} = ND.NV\).
Xét \(\Delta BEC\) và \(\Delta MCD\) ta có:
\(\begin{array}{l}BE = MC\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle BEC = \angle MCD = {90^0}\\EC = CD\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta BEC = \Delta MCD\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle BCE = \angle MDC\) (hai góc tương ứng)
Ta có: \(\angle BCE + \angle BCD = {90^0}\)\( \Rightarrow \angle MDC + \angle BCD = {90^0}\)
Xét \(\Delta DIC\) ta có: \(\angle IDC + \angle DCI = {90^0}\)\( \Rightarrow \angle DIC = {90^0}\) (áp dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác)
\( \Rightarrow DI\) vuông góc với \(BC\) tại \(I\).
Xét \(\Delta DNI\) vuông tại \(N\), áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
\(I{D^2} = I{N^2} + N{D^2}\) \( \Rightarrow N{D^2} = I{D^2} - I{N^2}\)
Xét \(\Delta VNI\) vuông tại \(N\), áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
\(I{V^2} = I{N^2} + N{V^2}\) \( \Rightarrow N{V^2} = I{V^2} - I{N^2}\)
Xét \(\Delta DVI\) vuông tại \(I\), áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
\(I{D^2} + I{V^2} = D{V^2}\)\( \Rightarrow I{D^2} + I{V^2} = {\left( {VN + ND} \right)^2}\)
\( \Rightarrow I{D^2} + I{V^2} = V{N^2} + 2VN.ND + N{D^2}\)
\( \Rightarrow I{D^2} + I{V^2} = I{V^2} - I{N^2} + 2VN.ND + I{D^2} - I{N^2}\)
\( \Rightarrow 2I{N^2} = 2VN.ND\)
\( \Rightarrow I{N^2} = VN.ND\).
Vậy \(N{I^2} = ND.NV\).
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
