Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(Q = \dfrac{{2{x^2} + 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

Câu hỏi số 442021:

Vận dụng cao

A. giá trị nhỏ nhất của \(Q\) bằng \(2\) khi \(x = 0\).

B. Q không có giá trị nhỏ nhất

C. giá trị nhỏ nhất của \(Q\) bằng \(1\) khi \(x = 1\).

D. giá trị nhỏ nhất của \(Q\) bằng \(10\) khi \(x = - 1\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:442021

Phương pháp giải

Biến đổi biểu thức \(Q\) về dạng \(Q = {\left( {1 - \dfrac{2}{{x + 1}}} \right)^2} + 1\).

Giải chi tiết

Điều kiện: \(x + 1 \ne 0\) \( \Leftrightarrow x \ne - 1.\)

Ta có:

\(Q = \dfrac{{2{x^2} + 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)\( = \dfrac{{2\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - 4x - 4 + 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)\( = \dfrac{{2{{\left( {x + 1} \right)}^2} - 4\left( {x + 1} \right) + 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)\( = 2 - \dfrac{4}{{x + 1}} + \dfrac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)\( = {\left( {1 - \dfrac{2}{{x + 1}}} \right)^2} + 1\)

Vì \({\left( {1 - \dfrac{2}{{x + 1}}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \ne - 1\)

\( \Rightarrow {\left( {1 - \dfrac{2}{{x + 1}}} \right)^2} + 1 \ge 1\) với mọi \(x \ne - 1\)

\( \Rightarrow Q \ge 1\) với mọi \(x \ne - 1\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(1 - \dfrac{2}{{x + 1}} = 0\)\( \Leftrightarrow \dfrac{2}{{x + 1}} = 1\) \( \Leftrightarrow x + 1 = 2\) \( \Rightarrow x = 1\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(Q\) bằng \(1\) khi \(x = 1\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link