Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Gọi \(D\) là điểm đối xứng với \(H\) qua
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Gọi \(D\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(AB\), \(E\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(AC\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(AB\) và \(DH\), \(K\) là giao điểm của \(AC\) và \(EH\).
Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:
Ta có: \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)\( \Rightarrow \angle IAK = {90^0}\).
Vì \(D\) đối xứng với \(H\) qua \(AB\) nên \(\angle IHA = {90^0}\) (tính chất đối xứng trục)
Vì \(E\) đối xứng với \(H\) qua \(AC\) nên \(\angle HKA = {90^0}\) (tính chất đối xứng trục)
\( \Rightarrow \angle BAC = \angle IHA = \angle HKA = {90^0}\)
Xét tứ giác \(AIHK\) có \(\angle BAC = \angle IHA = \angle HKA = {90^0}\).
Suy ra, tứ giác \(AIHK\) là hình chữ nhật (dhnb).
Vì \(D\) đối xứng với \(H\) qua \(AB\) nên \( \Rightarrow \Delta ADH\) cân tại \(A\).
Mà \(AI\) là đường cao trong \(\Delta ADH\) nên \(AI\) cũng là đường phân giác của góc \(DAH\)\( \Rightarrow \angle DAI = \angle IAH\).
Tương tự, ta cũng chứng minh được: \(\angle HAK = \angle KAE\)
Ta có: \(\angle DAE = \angle DAI + \angle IAH + \angle HAK + \angle KAE\)\( = 2\left( {\angle IAH + \angle HAK} \right) = {180^0}\)
\( \Rightarrow D,\,\,A,\,\,E\) thẳng hàng.
Gọi \(O\) là giao điểm của \(AM\) và \(IK\).
Gọi \(G\) là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật \(AIHK\).
Ta có: \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AM\) là đường trung tuyến suy ra \(AM = BM = CM\).
\( \Rightarrow \Delta AMC\) cân tại \(M\) (dhnb)
\( \Rightarrow \angle MAC = \angle MCA\) (tính chất)
Vì tứ giác \(AIHK\) là hình chữ nhật nên \(GA = GK = GH = GI\).
\( \Rightarrow \Delta GKA\) cân tại \(G\) \( \Rightarrow \angle GKA = \angle GAK\).
Ta lại có: \(\left. \begin{array}{l}\angle ABH + \angle BAH = {90^0}\\\angle BAH + \angle HAC = {90^0}\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow \angle ABH = \angle HAC\)\( \Rightarrow \angle ABH = \angle GAK\)
\( \Rightarrow \angle GKA = \angle ABH \Rightarrow \angle OKA = \angle ABH\)
Xét tam giác \(ABC\) có: \(\angle ABC + \angle ACB = {90^0}\) hay \(\angle ABH + \angle MCA = {90^0}\)
Mà \(\angle OKA = \angle ABH\) và \(\angle MAC = \angle MCA\) nên ta có: \(\angle OKA + \angle MAC = {90^0}\)
Suy ra, \(\angle OAK + \angle OKA = {90^0}\)\( \Rightarrow \angle AOK = {90^0}\)
Suy ra, \(AM \bot IK\) tại \(O\) (đpcm).
Quảng cáo
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
