Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2}\) có đồ thị \(\left( S \right)\). Gọi \(A,\,\,B,\,\,C\) là các điểm

Câu hỏi số 442432:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2}\) có đồ thị \(\left( S \right)\). Gọi \(A,\,\,B,\,\,C\) là các điểm phân biệt trên \(\left( S \right)\) có tiếp tuyến với \(\left( S \right)\) tại các điểm đó song song với nhau. Biết \(A,\,\,B,\,\,C\) cùng nằm trên một parabol \(\left( P \right)\) có đỉnh \(I\left( {\frac{1}{6};{y_0}} \right)\). Tìm \({y_0}\).

A. \({y_0} = - \frac{1}{6}\)

B. \({y_0} = - \frac{1}{{36}}\)

C. \({y_0} = \frac{1}{{36}}\)

D. \({y_0} = \frac{1}{6}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:442432

Phương pháp giải

- Vì tiếp tuyến của \(\left( S \right)\) tại \(A,\,\,B,\,\,C\) song song với nhau, nên 3 tiếp tuyến này có hệ số góc bằng nhau. Gọi hệ số góc của các tiếp tuyến đi qua \(A,\,\,B\,,\,\,C\) là \(k\), từ đó suy ra \(k = f'\left( x \right)\).

- Biến đổi hàm số ban đầu theo \(k\), từ đó suy ra dạng của \(\left( P \right)\) theo \(k\).

- Parabol \(\left( P \right):\,\,y = a{x^2} + bx + c\) có hoành độ đỉnh là \(x = - \frac{b}{{2a}}\), từ đó giải phương trình tìm \(k\).

- Thay vào tìm hàm số của parabol \(\left( P \right)\), thay \({x_0} = \frac{1}{6}\) tìm \({y_0}\).

Giải chi tiết

Ta có \(y = {x^4} - 2{x^2} \Rightarrow y' = 4{x^3} - 4x\).

Vì tiếp tuyến của \(\left( S \right)\) tại \(A,\,\,B,\,\,C\) song song với nhau, nên 3 tiếp tuyến này có hệ số góc bằng nhau.

Gọi hệ số góc của các tiếp tuyến đi qua \(A,\,\,B\,,\,\,C\) là \(k\), khi đó hoành độ các điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) là nghiệm của phương trình \(k = 4{x^3} - 4x\).

Ta có \({x^4} - 2{x^2} = \frac{1}{4}x\left( {4{x^3} - 4x} \right) - {x^2} = \frac{1}{4}xk - {x^2}\).

Do 3 điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) thuộc đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + \frac{1}{4}kx\,\,\,\left( P \right)\).

Theo giả thiết thì \(\left( P \right)\) có đỉnh \(I\left( {\frac{1}{6};{y_0}} \right)\) nên \(\frac{{ - \frac{1}{4}k}}{{2\left( { - 1} \right)}} = \frac{1}{6} \Rightarrow k = \frac{4}{3}\).

Khi đó \(\left( P \right):y = - {x^2} + \frac{1}{3}x\).

Do \(I\left( {\frac{1}{6};{y_0}} \right) \in \left( P \right)\) nên thay \({x_0} = \frac{1}{6}\) vào hàm số ta có \({y_0} = - {\left( {\frac{1}{6}} \right)^2} + \frac{1}{3}.\frac{1}{6} = \frac{1}{{36}}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.