Cho hai số thực \(x,\,\,y\) thỏa mãn điều kiện \(3{\left( {x + y} \right)^2} + 5{\left( {x - y} \right)^2}

Câu hỏi số 442435:

Vận dụng cao

Cho hai số thực \(x,\,\,y\) thỏa mãn điều kiện \(3{\left( {x + y} \right)^2} + 5{\left( {x - y} \right)^2} = 4\). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn \(m\left( {2xy + 1} \right) = 1010{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} + 1010{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2}\).

A. 1175

B. 236

C. 235

D. 1176

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:442435

Phương pháp giải

- Từ giả thiết và sử dụng hằng đẳng thức, biểu diễn \({x^2} + {y^2}\) và \({\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2}\) theo \(xy\).

- Đặt \(t = xy\), tìm tập giá trị của \(t\).

- Cô lập \(m\), đưa phương trình về dạng \(m = f\left( t \right)\), phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( t \right) \le m \le \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( t \right)\) với \(\left[ {a;b} \right]\) là tập giá trị của \(t\).

- Khảo sát hàm số \(y = f\left( t \right)\), tìm \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( t \right);\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( t \right)\).

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,3{\left( {x + y} \right)^2} + 5{\left( {x - y} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 6xy + 3{y^2} + 5{x^2} - 10xy + 5{y^2} = 4\\ \Leftrightarrow 8{x^2} - 4xy + 8{y^2} = 4\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - xy + 2{y^2} = 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = \frac{{1 + xy}}{2}\end{array}\)

Ta lại có: \({\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2} = {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} - 4{x^2}{y^2}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2} = \frac{{{{\left( {1 + xy} \right)}^2}}}{4} - 4{\left( {xy} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{1 + 2xy + {{\left( {xy} \right)}^2}}}{4} - 4{\left( {xy} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \frac{{15}}{4}{\left( {xy} \right)^2} + \frac{1}{2}xy + \frac{1}{4} \ge 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow - \frac{1}{5} \le xy \le \frac{1}{3}\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,m\left( {2xy + 1} \right) = 1010{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} + 1010{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow m\left( {2xy + 1} \right) = 1010.\frac{{{{\left( {1 + xy} \right)}^2}}}{4} + 1010.\left[ { - \frac{{15}}{4}{{\left( {xy} \right)}^2} + \frac{1}{2}xy + \frac{1}{4}} \right]\end{array}\)

Đặt \(t = xy\,\,\left( { - \frac{1}{5} \le t \le \frac{1}{3}} \right)\). Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}m\left( {2t + 1} \right) = \frac{{1010}}{4}{\left( {1 + t} \right)^2} + 1010\left[ { - \frac{{15}}{4}{t^2} + \frac{1}{2}t + \frac{1}{4}} \right]\\ \Leftrightarrow m\left( {2t + 1} \right) = \frac{{1010}}{4}\left( {1 + 2t + {t^2} - 15{t^2} + 2t + 1} \right)\\ \Leftrightarrow m\left( {2t + 1} \right) = \frac{{505}}{2}\left( { - 14{t^2} + 4t + 2} \right)\\ \Leftrightarrow m = \frac{{505\left( { - 7{t^2} + 2t + 1} \right)}}{{2t + 1}}\\ \Leftrightarrow \frac{m}{{505}} = \frac{{ - 7{t^2} + 2t + 1}}{{2t + 1}} = f\left( t \right)\,\,\,\left( * \right)\,\,\left( {t \in \left[ { - \frac{1}{5};\frac{1}{3}} \right]} \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{ - 7{t^2} + 2t + 1}}{{2t + 1}}\) với \(t \in \left[ { - \frac{1}{5};\frac{1}{2}} \right]\) ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = \frac{{\left( { - 14t + 2} \right)\left( {2t + 1} \right) - \left( { - 7{t^2} + 2t + 1} \right).2}}{{{{\left( {2t + 1} \right)}^2}}}\\f'\left( t \right) = \frac{{ - 14{t^2} - 14t}}{{{{\left( {2t + 1} \right)}^2}}}\\f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0 \in \left[ { - \frac{1}{5};\frac{1}{3}} \right]\\t = - 1 \notin \left[ { - \frac{1}{5};\frac{1}{3}} \right]\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có: \(f\left( 0 \right) = 1;\,\,f\left( { - \frac{1}{5}} \right) = \frac{8}{{15}};\,\,f\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{8}{{15}}\).

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{1}{5};\frac{1}{3}} \right]} f\left( t \right) = \frac{8}{{15}};\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \frac{1}{5};\frac{1}{3}} \right]} f\left( t \right) = 1\)

Do đó phương trình (*) có nghiệm \( \Leftrightarrow \frac{8}{{15}} \le \frac{m}{{505}} \le 1 \Leftrightarrow \frac{{808}}{3} \le m \le 505\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {270;271;...;505} \right\}\).

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.