Cho hàm số \(f\left( x \right) = \ln \left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)\). Tính tổng \(S = f'\left( 1 \right) +

Câu hỏi số 442437:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \ln \left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)\). Tính tổng \(S = f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) + ... + f'\left( {2019} \right)\).

A. \(S = \frac{{4039}}{{2020}}\)

B. \(S = \frac{{2019}}{{2020}}\)

C. \(S = - \frac{{2018}}{{2019}}\)

D. \(S = - \frac{{2019}}{{2020}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:442437

Phương pháp giải

- Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm logarit: \(\left( {\ln u} \right)' = \frac{{u'}}{u}\).

- Tính giá trị tổng quát \(f'\left( k \right)\), sau đó rút gọn.

Giải chi tiết

Ta có \(f\left( x \right) = \ln \left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right) = \ln \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)\).

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{ - \frac{1}{{{x^2}}}}}{{1 + \frac{1}{x}}} = - \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{x}\).

\( \Rightarrow f'\left( k \right) = \frac{1}{{k + 1}} - \frac{1}{k}\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}S = f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) + ... + f'\left( {2019} \right)\\\,\,\,\,\, = \frac{1}{2} - \frac{1}{1} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{{2020}} - \frac{1}{{2019}}\\ \Rightarrow S = \frac{1}{{2020}} - 1 = - \frac{{2019}}{{2020}}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.