Tổng tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} -

Câu hỏi số 442439:

Vận dụng

Tổng tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3m{x^2} + 3mx + {m^2} - 2{m^3}\) tiếp xúc với trục hoành bằng

A. \(\frac{2}{3}\)

B. 0

C. \(\frac{4}{3}\)

D. 1

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:442439

Phương pháp giải

- Hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\) có nghiệm.

- Từ một phương trình ta tìm \(m\) theo \(x\), thế vào phương trình còn lại, giải phương trình tìm \(x\).

- Nghiệm của hệ (*) chính là hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị hàm số.

Giải chi tiết

Ta có \(f\left( x \right) = {x^3} - 3m{x^2} + 3mx + {m^2} - 2{m^3}\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6mx + 3m\)

Đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3m{x^2} + 3mx + {m^2} - 2{m^3}\) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi hệ phương rình sau có nghiệm:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3m{x^2} + 3mx + {m^2} - 2{m^3} = 0\\3{x^2} - 6mx + 3m = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3m{x^2} + 3mx + {m^2} - 2{m^3} = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} - 2mx + m = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Phương trình (2) có nghiệm khi khi và chỉ khi \(\Delta ' = {m^2} - m \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le 0\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} = m\left( {2x - 1} \right)\)

TH1: \(x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{4} = 0 \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.

TH2: \(x \ne \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \frac{{{x^2}}}{{2x - 1}}\). Thay vào (1) ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^3} - 3\frac{{{x^2}}}{{2x - 1}}.{x^2} + 3.\frac{{{x^2}}}{{2x - 1}}.x + {\left( {\frac{{{x^2}}}{{2x - 1}}} \right)^2} - 2{\left( {\frac{{{x^2}}}{{2x - 1}}} \right)^3} = 0\\ \Leftrightarrow {x^3}{\left( {2x - 1} \right)^3} - 3{x^4}{\left( {2x - 1} \right)^2} + 3{x^3}{\left( {2x - 1} \right)^2} + {x^4}\left( {2x - 1} \right) - 2{x^6} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{\left( {2x - 1} \right)^3} - 3x{\left( {2x - 1} \right)^2} + 3{\left( {2x - 1} \right)^2} + x\left( {2x - 1} \right) - 2{x^3} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\8{x^3} - 12{x^2} + 6x - 1 - 3\left( {x - 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + 2{x^2} - x - 2{x^3} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\8{x^3} - 12{x^2} + 6x - 1 - 3\left( {4{x^3} - 4{x^2} + x - 4{x^2} + 4x - 1} \right) + 2{x^2} - x - 2{x^3} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\ - 6{x^3} + 14{x^2} - 10x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = \frac{1}{3}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow S = \left\{ {0;1} \right\}\).

Vậy tổng các phần tử của \(S\) bằng 1.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.