Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{{4^{\sin

Câu hỏi số 442444:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{{4^{\sin x}} + m{{.6}^{\sin x}}}}{{{9^{\sin x}} + {4^{1 + \sin x}}}}\) không nhỏ hơn \(\frac{1}{3}\).

A. \(m > \frac{2}{3}\)

B. \(m \ge \frac{2}{3}\)

C. \(m \ge \frac{{13}}{{18}}\)

D. \(\frac{2}{3} \le m \le \frac{{13}}{{18}}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:442444

Phương pháp giải

- Đặt \(t = \sin x\), \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\), hàm số trở thành: \(y = f\left( t \right)\).

- Theo bài ra ta có \(\max y \ge \frac{1}{3} \Leftrightarrow \exists t:\,\,f\left( t \right) \ge \frac{1}{3}\).

- Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(m \ge g\left( t \right)\,\,\,\left( * \right)\).

- Khảo sát hàm số \(g\left( t \right)\), tìm điều kiện để bất phương trình (*) có nghiệm.

Giải chi tiết

Đặt \(t = \sin x\), \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\), hàm số trở thành: \(y = \frac{{{4^t} + m{{.6}^t}}}{{{9^t} + {4^{1 + t}}}}\).

Theo bài ra ta có \(\max y \ge \frac{1}{3} \Leftrightarrow \exists t:\,\,\frac{{{4^t} + m{{.6}^t}}}{{{9^t} + {4^{1 + t}}}} \ge \frac{1}{3}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {4^t} + m{.6^t} \ge \frac{{{9^t} + {4^{1 + t}}}}{3}\\ \Leftrightarrow m{.6^t} \ge \frac{{{9^t} + {{4.4}^t}}}{3} - {4^t} = \frac{{{9^t} + {4^t}}}{3}\\ \Leftrightarrow m \ge \frac{{{9^t} + {4^t}}}{{{{3.6}^t}}} = g\left( t \right)\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(g\left( t \right) = \frac{{{9^t} + {4^t}}}{{{{3.6}^t}}}\) ta có:

\(\begin{array}{l}g'\left( t \right) = \frac{1}{3}.\frac{{\left( {{9^t}\ln 9 + {4^t}\ln 4} \right){{.6}^t} - \left( {{9^t} + {4^t}} \right){{.6}^t}\ln 6}}{{{6^{2t}}}}\\g'\left( t \right) = \frac{1}{3}.\frac{{{9^t}\ln 9 + {4^t}\ln 4 - \left( {{9^t} + {4^t}} \right).\ln 6}}{{{6^t}}}\\g'\left( t \right) = \frac{1}{3}.\frac{{{{2.9}^t}\ln 3 + {{2.4}^t}\ln 2 - \left( {{9^t} + {4^t}} \right).\ln 2 - \left( {{9^t} + {4^t}} \right).\ln 3}}{{{6^t}}}\\g'\left( t \right) = \frac{1}{3}.\frac{{\left( {{9^t} - {4^t}} \right)\ln 3 - \left( {{9^t} - {4^t}} \right)\ln 2}}{{{6^t}}}\\g'\left( t \right) = \frac{1}{3}.\frac{{\left( {{9^t} - {4^t}} \right)\left( {\ln 3 - \ln 2} \right)}}{{{6^t}}}\\g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow {9^t} = {4^t} \Leftrightarrow {\left( {\frac{9}{4}} \right)^t} = 1 \Leftrightarrow t = 0\end{array}\)

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy (*) có nghiệm khi và chỉ khi \(m \ge \frac{2}{3}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.