Cho các số tự nhiên \(n,\,\,k\) thỏa mãn \(0 \le k < n\). Trong các đẳng thức sau, đẳng thức

Câu hỏi số 443098:

Vận dụng

Cho các số tự nhiên \(n,\,\,k\) thỏa mãn \(0 \le k < n\). Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A. \(A_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!}}\)

B. \({P_n} = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\)

C. \(C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}\)

D. \(C_{n + 1}^k = C_{n + 1}^{n - k}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:443098

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức: \(A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}};\,\,{P_n} = n!,\,\,C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\).

Giải chi tiết

Ta có: \(A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}};\,\,{P_n} = n!\), nên đáp án A và B sai.

Xét đáp án C:

\(\begin{array}{l}VT = C_n^k + C_n^{k + 1} = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} + \dfrac{{n!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {n - k - 1} \right)!}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k - 1} \right)!}}\left( {\dfrac{1}{{n - k}} + \dfrac{1}{{k + 1}}} \right)\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k - 1} \right)!}}.\dfrac{{k + 1 + n - k}}{{\left( {n - k} \right)\left( {k + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k - 1} \right)!}}.\dfrac{{n + 1}}{{\left( {n - k} \right)\left( {k + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {n - k} \right)!}} = C_{n + 1}^{k + 1}\end{array}\)

Do đó đáp án C đúng.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.