Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{{mx + 1}}{{x + m}}\)

Câu hỏi số 443389:

Vận dụng

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{{mx + 1}}{{x + m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

A. \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)

B. \(\left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)

C. \(\left[ {1; + \infty } \right)\)

D. \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:443389

Phương pháp giải

Tìm m để hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) đồng biến, nghịch biến trên khoảng \(\left( {\alpha ;\beta } \right)\)

- Bước 1: Tính \(y'\).

- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến:

+ Hàm số đồng biến trên \(\left( {\alpha ;\beta } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' = f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {\alpha ;\beta } \right)\\ - \dfrac{d}{c} \notin \left( {\alpha ;\beta } \right)\end{array} \right.\)

+ Hàm số nghịch biến trên \(\left( {\alpha ;\beta } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' = f'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {\alpha ;\beta } \right)\\ - \dfrac{d}{c} \notin \left( {\alpha ;\beta } \right)\end{array} \right.\)

- Bước 3: Kết luận.

Giải chi tiết

Ta có: \(y' = \dfrac{{{m^2} - 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\)

Hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' > 0\\ - m \notin \left( {1; + \infty } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 > 0\\ - m \in \left( { - \infty ;1} \right]\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 1\end{array} \right.\\ - m \le 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 1\end{array} \right.\\m \ge - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 1\)

Vậy \(m \in \left( {1; + \infty } \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.