Có bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2\left( {{m^2} + 1}

Câu hỏi số 443393:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2\left( {{m^2} + 1} \right){x^2} + 1\) có \(3\) điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông?

A. \(0\)

B. \(4\)

C. \(1\)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

- Tìm các điểm cực trị \(A,B,C\) của đồ thị hàm số với \(A\left( {0;1} \right)\).

- Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) \( \Leftrightarrow AB \bot AC \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\).

Giải chi tiết

Ta có :

\(\begin{array}{l}y' = 4{x^3} - 4\left( {{m^2} + 1} \right)x = 4x\left( {{x^2} - {m^2} - 1} \right)\\y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 1\\x = \pm \sqrt {{m^2} + 1} \Rightarrow y = - {\left( {{m^2} + 1} \right)^2} + 1\end{array} \right.\end{array}\)

Do đó các điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(A\left( {0;1} \right),B\left( {\sqrt {{m^2} + 1} ; - {{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2} + 1} \right),C\left( { - \sqrt {{m^2} + 1} ; - {{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2} + 1} \right)\)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) \( \Leftrightarrow AB \bot AC \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\)

\(\overrightarrow {AB} = \left( {\sqrt {{m^2} + 1} ; - {{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2}} \right);\overrightarrow {AC} = \left( { - \sqrt {{m^2} + 1} ; - {{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2}} \right)\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow - \left( {{m^2} + 1} \right) + {\left( {{m^2} + 1} \right)^4} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{m^2} + 1} \right)^3} - 1 = 0\left( {do\,\,\,\,\,{m^2} + 1 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {m^2} + 1 = 1 \Leftrightarrow m = 0\end{array}\)

Vậy có \(1\) giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:443393

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.