Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({\log _2}\left( {x - 1}

Câu hỏi số 443397:

Vận dụng

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({\log _2}\left( {x - 1} \right) = {\log _4}\left( {m{x^2} + 1} \right)\) có nghiệm

A. \(\left( { - \infty ;1} \right)\)

B. \(\left( {0;1} \right)\)

C. \(\left( { - 1;1} \right)\)

D. \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \({\log _{{a^\alpha }}}b = \dfrac{1}{\alpha }{\log _a}b\) đưa phương trình về dạng \({\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) > 0\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.\)

Từ đó lập luận theo điều kiện của \(x\) để tìm \(m\)

Giải chi tiết

Điều kiện : \(x > 1\)

Ta có : \({\log _2}\left( {x - 1} \right) = {\log _4}\left( {m{x^2} + 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 1} \right) = \dfrac{1}{2}{\log _2}\left( {m{x^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2{\log _2}\left( {x - 1} \right) = {\log _2}\left( {m{x^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}{\left( {x - 1} \right)^2} = {\log _2}\left( {m{x^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = m{x^2} + 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 - m{x^2} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - m} \right){x^2} - 2x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right){x^2} + 2x = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x\left[ {\left( {m - 1} \right)x + 2} \right]\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( {ktm} \right)\\\left( {m - 1} \right)x + 2 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(m = 1\) ta có \(\left( {1 - 1} \right)x + 2 = 0 \Leftrightarrow 2 = 0\) (vô lý)

Với \(m \ne 1\) ta có \(\left( {m - 1} \right)x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 2}}{{m - 1}}\)

Kết hợp điều kiện \(m > 1 \Rightarrow \dfrac{{ - 2}}{{m - 1}} > 1 \Leftrightarrow \dfrac{2}{{m - 1}} + 1 < 0\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{m + 1}}{{m - 1}} < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 1\)

Vậy \(m \in \left( { - 1;1} \right)\)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:443397

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.