Cho hình cầu có bán kính \(R,\) xét khối trụ \(\left( T \right)\) thay đổi nội tiếp hình cầu đó.

Câu hỏi số 443398:

Vận dụng

Cho hình cầu có bán kính \(R,\) xét khối trụ \(\left( T \right)\) thay đổi nội tiếp hình cầu đó. Khi khối trụ \(\left( T \right)\) có thể tích lớn nhất thì chiều cao của khối trụ bằng

A. \(R\sqrt 3 \)

B. \(\dfrac{{R\sqrt 3 }}{3}\)

C. \(\dfrac{{2R\sqrt 3 }}{3}\)

D. \(\dfrac{{4R\sqrt 3 }}{3}\)

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

Giả sử hình trụ có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\).

Thiết lập mối quan hệ của \(r,h,R\)

Từ đó sử dụng công thức tính thể tích hình trụ \(V = \pi {r^2}h\) để có hàm số liên quan đến chiều cao hình trụ

Đưa về xét hàm số \(y = f\left( x \right)\) để tìm giá trị lớn nhất của hàm số

Giải chi tiết

Giả sử khối trụ có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\).

Đặt \(h = 2x\) với \(0 < x < R\)

Vì hình trụ nội tiếp hình cầu nên ta có \({R^2} = {x^2} + {r^2}\)

Thể tích khối trụ \(V = \pi {r^2}h = \pi \left( {{R^2} - {x^2}} \right).2x = 2\pi \left( {{R^2}x - {x^3}} \right)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {R^2}x - {x^3}\) với \(0 < x < R\)

Ta có \(f'\left( x \right) = - 3{x^2} + {R^2} = 0 \Rightarrow x = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{3}\)

BBT của hàm số trên \(\left( {0;R} \right)\)

Từ BBT ta thấy hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{3}\)

Hay thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao \(h = 2x = \dfrac{{2R\sqrt 3 }}{3}\)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:443398

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.