Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\). Góc giữa \(A'C\) và mặt phẳng
Cho lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(a\). Góc giữa \(A'C\) và mặt phẳng đáy bằng \({60^0}.\) Tính diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) của hình nón có đáy là đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) và đỉnh là trọng tâm của tam giác \(A'B'C'.\)
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh hình nón là \(S = \pi rl\) với \(r\) là bán kính đáy và \(l\) là đường sinh hình nón.
Vì tam giác \(ABC\) đều nên đường tròn nội tiếp đáy có tâm \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
Khi đó hình nón có đường cao bằng chiều cao lăng trụ \(OO' = AA'\) và đường sinh là \(O'M\) với \(M\) là trung điểm cạnh \(AB.\)
Ta có \(AC\) là hình chiếu của \(A'C\) lên mặt phẳng \(ABC\) nên góc giữa \(A'C\) và đáy là \(\widehat {A'CA} = {60^0}\)
Xét tam giác \(AA'C\) vuông tại \(A\) có \(AA' = AC.\tan \widehat {ACA'}\)\( = a.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \).
Ta có \(CM\) là đường trung tuyến trong tam giác đều nên \(CM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow OM = \dfrac{1}{3}CM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\)
Xét tam giác \(OO'M\) vuông tại \(O\) có \(OO' = AA' = a\sqrt 3 ,OM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\) nên \(O'M = \sqrt {O{M^2} + OO{'^2}} = \dfrac{{a\sqrt {111} }}{6}\)
Diện tích xung quanh của hình nón cần tìm là \({S_{xq}} = \pi .OM.O'M = \pi \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}.\dfrac{{a\sqrt {111} }}{6}\)\( = \dfrac{{\pi {a^2}\sqrt {37} }}{{12}}\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
