Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({4^x} - \left( {m + 1} \right){2^{x +

Câu hỏi số 443401:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({4^x} - \left( {m + 1} \right){2^{x + 1}} + 3m - 8 = 0\) có hai nghiệm trái dấu?

A. \(7\)

B. \(5\)

C. Vô số

D. \(6\)

Đáp án đúng là: D

Phương pháp giải

Đặt \({2^x} = t > 0\) đưa về phương trình \({t^2} - 2\left( {m + 1} \right)t + 3m - 8 = 0\) (*)

Từ điều kiện hai \(x\) trái dấu ta tìm điều kiện của \(t\).

Từ đó dựa vào điều kiện của \(t\) để biện luận phương trình (*), từ đó tìm được \(m\).

Giải chi tiết

Ta có \({4^x} - \left( {m + 1} \right){2^{x + 1}} + 3m - 8 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - 2\left( {m + 1} \right){2^x} + 3m - 8 = 0\).

Đặt \({2^x} = t > 0\) ta có phương trình \({t^2} - 2\left( {m + 1} \right)t + 3m - 8 = 0\) (*)

Để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu \({x_1} < 0 < {x_2}\) thì phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt \({t_1};\,\,{t_2}\) thỏa mãn \(0 < {t_1} < 1 < {t_2}\). ( vì \({x_1} < 0 \Rightarrow {t_1} = {2^{{x_1}}} < 1;{x_2} > 0 \Rightarrow {t_2} = {2^{{x_2}}} > 1\)).

Từ đó ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}a = 1 \ne 0\\\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 3m + 8 > 0\\S = 2\left( {m + 1} \right) > 0\\P = 3m - 8 > 0\\{t_1} < 1 < {t_2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m + 9 > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\m > - 1\\m > \dfrac{8}{3}\\\left( {{t_1} - 1} \right)\left( {{t_2} - 1} \right) < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{8}{3}\\{t_1}{t_2} - \left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 1 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{8}{3}\\3m - 8 - 2\left( {m + 1} \right) + 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{8}{3}\\m < 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{8}{3} < m < 9\).

Mà \(m\) nguyên nên \(m \in \left\{ {3;4;5;6;7;8} \right\}\). Vậy có 6 giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:443401

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.