Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc khoảng \(\left( {0;12} \right)\) để hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{mx}}{{{x^2} + 1}}\) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\) tại \(x = 1?\)

Câu 443406: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc khoảng \(\left( {0;12} \right)\) để hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{mx}}{{{x^2} + 1}}\) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\) tại \(x = 1?\)

A. \(8\)

B. \(11\)

C. \(9\)

D. \(10\)

Câu hỏi : 443406

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Tính \(f'\left( x \right)\), giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) sau đó lập BBT trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\).

Từ BBT suy ra được giá trị lớn nhất của hàm số, từ đó tìm ra \(m.\)

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = \dfrac{{m\left( {{x^2} + 1} \right) - 2x.mx}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{m - m{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{m\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\)

Xét phương trình \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{m\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow 1 - {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\).

Vì \(m \in \left( {0;12} \right)\) nên ta có BBT của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ { - 3;3} \right]\) như sau

Từ BBT ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;3} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( { - 3} \right);f\left( 1 \right)} \right\}\).

Mà \(f\left( { - 3} \right) = \dfrac{{ - 3m}}{{{{\left( { - 3} \right)}^2} + 1}} = \dfrac{{ - 3m}}{{10}};f\left( 1 \right) = \dfrac{m}{{{1^2} + 1}} = \dfrac{m}{2}\).

Lại có \(m > 0\) nên \(\dfrac{m}{2} > - \dfrac{{3m}}{{10}}\) hay \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;3} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( { - 3} \right);f\left( 1 \right)} \right\}\)\( = \dfrac{m}{2} = f\left( 1 \right)\).

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất trên \(\left[ { - 3;3} \right]\) tại \(x = 1\) với mọi \(m \in \left( {0;12} \right)\).

Mà \(m\) nguyên nên \(m \in \left\{ {1;2;3;...;11} \right\}\), hay có \(11\) giá trị của \(m\) thỏa mãn đề bài.

Chọn B.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.