Tổng các nghiệm của phương trình \(\sin x + \sqrt 3 \cos x = 2\) trên đoạn \(\left[ {0;4\pi } \right]\)

Câu hỏi số 443602:

Vận dụng

Tổng các nghiệm của phương trình \(\sin x + \sqrt 3 \cos x = 2\) trên đoạn \(\left[ {0;4\pi } \right]\) là:

A. \(\dfrac{{8\pi }}{3}\)

B. \(\dfrac{{7\pi }}{3}\)

C. \(\dfrac{{7\pi }}{6}\)

D. \(\dfrac{{13\pi }}{6}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:443602

Phương pháp giải

- Chia cả 2 vế phương trình cho 2.

- Sử dụng công thức \(\sin a\cos b + \sin b\cos a = \sin \left( {a + b} \right)\).

- Giải phương trình lượng giác cơ bản \(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sin x + \sqrt 3 \cos x = 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = 1\\ \Leftrightarrow \sin x\cos \dfrac{\pi }{3} + \cos x\sin \dfrac{\pi }{3} = 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vì \(x \in \left[ {0;4\pi } \right]\) nên \(0 \le \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \le 4\pi \Leftrightarrow - \dfrac{1}{{12}} \le k \le \dfrac{{23}}{{12}}\).

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}\).

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(x = \dfrac{\pi }{6}\) và \(x = \dfrac{{13\pi }}{6}\), tổng của chúng là \(\dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{13\pi }}{6} = \dfrac{{7\pi }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.