Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC.\) Gọi \(D\) và \(E\) lần

Câu hỏi số 444000:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC.\) Gọi \(D\) và \(E\) lần lượt là cân các đường vuông góc hạ từ \(M\) xuống \(AB\) và \(AC.\)

a) Chứng minh: Tứ giác \(ADME\) là hình chữ nhật và \(D\) là trung điểm của \(AB.\)

b) Chứng minh: Tứ giác \(DBME\) là hình bình hành.

c) Gọi \(N\) là điểm đối xứng với \(E\) qua \(M.\) Vẽ \(EK \bot BC\) tại \(K.\) Chứng minh \(AK \bot KN.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:444000

Phương pháp giải

a) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

Sử dụng tính chất hình chữ nhật để chứng minh \(D\) là trung điểm của \(AB.\)

b) Tứ giác có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình chữ nhật.

c) Chưng minh tứ giác \(ABNE\) là chữ nhật.

Sử dụng tính chất của hình chữ nhật để chứng minh \(AK \bot KN.\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh: Tứ giác \(ADME\) là hình chữ nhật và \(D\) là trung điểm của \(AB.\)

Xét tứ giác \(ADME\) ta có:

\[\angle DAE = {90^0}\] (\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\))

\(\begin{array}{l}\angle ADM = {90^0}\,\,\,\left( {MD \bot AB} \right)\\\angle AEM = {90^0}\,\,\left( {ME \bot AC} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow ADME\) là hình chữ nhật. (dấu hiệu nhận biết)

\[ \Rightarrow DM//AC\] (tính chất hình chữ nhật)

Xét \(\Delta ABC\) ta có:

\(M\) là trung điểm của \(BC\,\,\left( {gt} \right)\)

\(DM//AC\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow D\) là trung điểm của \(AB.\) (đpcm)

b) Chứng minh: Tứ giác \(DBME\) là hình bình hành.

Ta có: \(DB = DA\,\) (\(D\) là trung điểm của \(AB\))

Vì \(ADME\) là hình chữ nhật (cmt) \( \Rightarrow DA = ME\)

\( \Rightarrow DB = ME\,\,\left( { = DA} \right)\)

Xét tứ giác \(DBME\) ta có:

\(DB//ME\) (cùng \( \bot AC\))

\(DB = ME\,\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow DBME\) là hình bình hành (dhnb).

Ta có: \(AB = 2AD\,\) (\(D\) là trung điểm của \(AB\))

\(EN = 2EM\) (\(N\) đối xứng với \(E\) qua \(M\))

\(AD = EM\) (\(ADME\) là hình chữ nhật)

\( \Rightarrow AB = EN.\)

Xét tứ giác \(ABNE\) ta có:

\(\begin{array}{l}AB//EN\,\,\,\left( { \bot AC} \right)\\AB = EN\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow ABNE\) là hình bình hành. (dhnb)

Lại có: \(\angle BAE = {90^0}\,\,\,\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow ABNE\) là hình chữ nhật. (dhnb)

c) Gọi \(N\) là điểm đối xứng với \(E\) qua \(M.\) Vẽ \(EK \bot BC\) tại \(K.\) Chứng minh \(AK \bot KN.\)

Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật \(ABNE.\)

Ta có: \(O\) là trung điểm của \(AN,\) \(O\) là trung điểm của \(BE\) và \(AN = BE\)

\(\Delta EKB\) vuông tại \(K\) có \(KO\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

\( \Rightarrow KO = \frac{1}{2}BE\)

Vì \(AN = BE\) \( \Rightarrow KO = \frac{1}{2}AN\)

\( \Rightarrow \Delta AKN\) vuông tại \(K\) \( \Rightarrow AK \bot KN\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link