Tất cả các giá trị của tham số \(m\) sao cho hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} - (m - 6)x + 1\) đồng biến

Câu hỏi số 444545:

Vận dụng

Tất cả các giá trị của tham số \(m\) sao cho hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} - (m - 6)x + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;4} \right)\) là

A. \(m \le 3\)

B. \(3 \le m \le 6\)

C. \(m \le 6\)

D. \(m < 3\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:444545

Phương pháp giải

- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right) \ge 0\) với \(\forall x \in \left( {a;b} \right)\) thì đồng biến trên \(\left( {a;b} \right)\).

- Từ đó cô lập \(m\) để đưa về dạng \(m \le g\left( x \right)\,\,\forall a \in \left( {a;b} \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} g\left( x \right)\), lập BBT của hàm \(g\left( x \right)\) trên \(\left( {a;b} \right)\) sau đó suy ra \(m\).

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\). Ta có: \(y' = 3{x^2} - 2mx - m + 6\).

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0;4} \right)\) thì \(y' \ge 0\,\,\,\forall x \in \left( {0;4} \right)\) hay \(3{x^2} - 2mx - m + 6 \ge 0,\forall x \in \left( {0;4} \right)\)

\( \Leftrightarrow m\left( {2x + 1} \right) \le 3{x^2} + 6\) \( \Leftrightarrow m \le \frac{{3{x^2} + 6}}{{2x + 1}}\) (*) (vì \(x \in \left( {0;4} \right) \Rightarrow 2x + 1 > 0\))

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{3{x^2} + 6}}{{2x + 1}};x \in \left( {0;4} \right)\)

Ta có \(g'\left( x \right) = \frac{{6x\left( {2x + 1} \right) - 2\left( {3{x^2} + 6} \right)}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{6{x^2} + 6x - 12}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\)

Giải phương trình \(g'\left( x \right) = 0 \Rightarrow 6{x^2} + 6x - 12 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left[ {0;4} \right]\\x = - 2 \notin \left[ {0;4} \right]\end{array} \right.\).

Ta có BBT:

Từ BBT ta có \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = 3\), do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow m \le 3\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.