Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) (\(AB < AC\)) và đường cao \(AH\). Từ \(H\) kẻ \(HE \bot AB\), \(HF

Câu hỏi số 445452:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) (\(AB < AC\)) và đường cao \(AH\). Từ \(H\) kẻ \(HE \bot AB\), \(HF \bot AC\) \(\left( {E \in AB;\,\,F \in AC} \right)\).

a) Chứng minh tứ giác \(AEHF\) là hình chữ nhật.

b) Gọi \(D\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(F\). Chứng minh \(DHEF\) là hình bình hành.

c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(EF\) và \(AH\); \(M\) là trung điểm của \(BC\). Qua \(A\) kẻ tia \(Ax\) vuông góc với đường thẳng \(MI\) cắt tia \(CB\) tại \(K\). Chứng minh \(4\) điểm \(K,\,\,E,\,\,I,\,\,F\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:445452

Phương pháp giải

a) Áp dụng dấu hiệu nhận biết của hình chữ nhật: Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

b) Áp dụng dấu hiệu nhận biết của hình bình hành: Tứ giác có cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

c) Chứng minh: \(E,\,\,I,\,\,F\) thẳng hàng và \(K,\,\,I,\,\,F\) thẳng hàng.

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác \(AEHF\) là hình chữ nhật.

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)\( \Rightarrow \angle BAC = {90^ \circ }\)

Vì \(HE \bot AB\), \(HF \bot AC\) nên \(\angle HEA = {90^0},\,\,\angle HFA = {90^0}\).

Xét tứ giác \(AEHF\) ta có:

\(\angle EAF = \angle HEA = \angle HFA = {90^0}\)

Suy ra, tứ giác \(AEHF\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

b) Gọi \(D\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(F\). Chứng minh \(DHEF\) là hình bình hành.

Vì \(AEHF\) là hình chữ nhật suy ra \(EH\,{\rm{//}}\,AF\) và \(EH\, = AF\) (tính chất của hình chữ nhật)

Vì \(D\) là tâm đối xứng của \(A\) qua \(F\) nên \(F\) là trung điểm của \(AD\). Suy ra, \(AF = FD\).

Do đó, \(EH\,{\rm{//}}\,FD\) và \(EH\, = FD\).

Suy ra, \(DHEF\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

+) Vì \(I\) là giao điểm của \(EF\) và \(AH\) nên ba điểm \(E,\,\,I,\,\,F\) thẳng hàng.

+) Gọi \(O\) là giao điểm của \(EF\) và \(AM\).

Vì \(AM\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) nên \(AM = MC = BM\) (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) suy ra \(\Delta AMC\) cân tại \(M\,(MC = MC)\). Do đó, \(\angle MAC = \angle MCA\) (tính chất tam giác cân)

Vì \(EHFA\) là hình chữ nhật, có \(I\) là giao điểm hai đường chéo nên ta có \(\angle IAF = \angle IFA\) (\(\Delta IAF\)cân tại \(I\))

Xét \(\Delta AHC\) ta có: \(\angle HAC + \angle HCA = {90^0}\) (tổng ba góc trong một tam giác) hay \(\angle IAF + \angle MCA = {90^0}\)

\( \Rightarrow \angle IFA + \angle MAC = {90^0}\) (vì \(\angle IFA\, = \,\angle IAF\); \(\angle \,MAC\, = \,\angle MCA\)) hay \(\angle OFA + \angle OAF = {90^0}\)

Xét \(\Delta OAF\) có \(\angle OFA + \angle OAF = {90^0}\) suy ra \(\angle AOF = {90^0}\) (tổng ba góc trong một tam giác)

\( \Rightarrow EF\) vuông góc với \(AM\) tại \(O\) hay \(IF\) vuông góc với \(AM\) tại \(O\).

+) Xét \(\Delta KAM\) ta có:

\(GM \bot KA\) tại \(G\)

\(AH \bot KM\) tại \(H\)

Mà \(I\) là giao điểm của \(AH\) và \(GM\) nên \(I\) là trực tâm của \(\Delta KAM\).

\( \Rightarrow KI \bot AM\) mà \(IF \bot AM\)

\( \Rightarrow \)\(K,\,\,I,\,\,F\) thẳng hàng.

Ta có:

Ba điểm \(E,\,\,I,\,\,F\) thẳng hàng.

Ba điểm \(K,\,\,I,\,\,F\) thẳng hàng.

\( \Rightarrow \) Bốn điểm \(I,\,\,K,\,\,E,\,\,F\) thẳng hàng (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link