Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và một điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn. Từ \(A\) vẽ hai

Câu hỏi số 445643:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và một điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn. Từ \(A\) vẽ hai tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) của đường tròn \(\left( O \right)\) với \(B,\,\,C\) là hai tiếp điểm. Vẽ đường kính \(BD\) của \(\left( O \right);\,\,AD\) cắt \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(E.\) Gọi \(H\) là giao điểm của \(OA\) và \(BC,\,\,K\) là trung điểm của \(ED.\)

a) Chứng minh: Năm điểm \(A,\,\,B,\,\,O,\,\,K,\,\,C\) cùng nằm trên một đường tròn; \(OA \bot BC\).

b) Chứng minh: \(AE.AD = A{C^2}\).

c) Đường thẳng \(OK\) cắt đường thẳng \(BC\) tại \(F.\) Chứng minh: \(FD\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right).\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:445643

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\angle ABO = \angle ACO = \angle AKO = {90^0}\) nên 5 điểm \(A,\,\,B,\,\,O,\,\,K,\,\,C\) cùng nằm trên một đường tròn đường kính \(AO.\)

Chứng minh \(\Delta BOH = \Delta COH\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\)\( \Rightarrow \angle BHO = \angle CHO = {90^0} \Rightarrow AH \bot BC\)

b) Chứng minh \(\Delta ACE \sim \Delta ADC\,\,\,\left( {g - g} \right)\)\( \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AE}} = \dfrac{{AD}}{{AC}} \Leftrightarrow AE.AD = A{C^2}\)

c) Chứng minh \(\Delta BCD \sim \Delta BDF\,\,\left( {g.g - } \right)\)\( \Rightarrow \angle BCD = \angle BDF = {90^0} \Rightarrow BD \bot FD\)

Giải chi tiết

a) Chứng minh: Năm điểm \(A,\,\,B,\,\,O,\,\,K,\,\,C\) cùng nằm trên một đường tròn; \(OA \bot BC\).

Ta có: \(AB,\,\,AC\) là các tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(\angle ABO = \angle ACO = {90^0}\,\,\left( 1 \right)\)

\(ED\) là dây cung và \(K\) là trung điểm \(ED\) nên \(OK \bot ED \Rightarrow \angle AKO = {90^0}\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1), (2) ta có: 5 điểm \(A,\,\,B,\,\,O,\,\,K,\,\,C\) cùng nằm trên một đường tròn đường kính \(AO.\)

+) Xét \(\Delta ABO\) và \(\Delta ACO\) có:

\(\left. \begin{array}{l}AO\,\,chung\\CO = BO\\\angle ACO = \angle ABO\left( { = {{90}^0}} \right)\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow \Delta ABO = \Delta ACO\left( {ch - cgv} \right)\)

\( \Rightarrow \angle COH = \angle BOH\)

Xét \(\Delta BOH\) và \(\Delta COH\) có:

\(\left. \begin{array}{l}OH\,\,chung\\\angle BOH = \angle COH\,\,\left( {cmt} \right)\\BO = CO\left( { = R} \right)\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow \Delta BOH = \Delta COH\,\,\,\left( {c - g - c} \right).\)

\( \Rightarrow \angle BHO = \angle CHO = {90^0}\)\( \Rightarrow AO \bot BC\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

b) Chứng minh: \(AE.AD = A{C^2}\).

Ta có: \(\angle CDE = \angle ACE\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung \(CE\))

Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta ADC\) có:

\(\begin{array}{l}\angle A\,\,chung\\\angle ACE = \angle ADC\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ACE \sim \Delta ADC\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AE}} = \dfrac{{AD}}{{AC}} \Leftrightarrow AE.AD = A{C^2}\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

c) Đường thẳng \(OK\) cắt đường thẳng \(BC\) tại \(F.\) Chứng minh: \(FD\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right).\)

Ta có: \(\angle CDB = \dfrac{{\angle COB}}{2}\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung \(BC\))

\(\angle BFD = \dfrac{{SdBD - SdCD}}{2} = \dfrac{{SdBC}}{2} = \dfrac{{\angle COB}}{2}\)

Suy ra \(\angle CDB = \angle BFD\)

Xét \(\Delta BCD\) và \(\Delta BDF\) có

\(\begin{array}{l}\angle CDB = \angle BFD\left( {cmt} \right)\\\angle CBD\,\,\,chung\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta BCD \sim \Delta BDF\)(g.g)

\( \Rightarrow \angle BCD = \angle BDF = {90^0} \Rightarrow BD \bot FD\)

Vậy \(FD\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right).\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link