Tính tích phân I =

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi số 446:

Tính tích phân I = $\int_{1}^{2}\frac{x+2lnx}{(x+1)^{3}}dx$

A. I = ln $\frac{4}{3}$ - $\frac{ln2}{9}$ - $\frac{5}{72}$

B. I = ln $\frac{4}{3}$ + $\frac{ln2}{9}$ - $\frac{5}{72}$

C. I = ln $\frac{4}{3}$ - $\frac{ln2}{9}$ + $\frac{5}{72}$

D. I = -ln $\frac{4}{3}$ - $\frac{ln2}{9}$ - $\frac{5}{72}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:446

Giải chi tiết

Ta có I = $\int_{1}^{2}\frac{x+2lnx}{(x+1)^{3}}dx$

= $\int_{1}^{2}(\frac{1}{(x+1)^{2}}-\frac{1}{(x+1)^{3}}+\frac{2lnx}{(x+1)^{3}})dx$

= - $\frac{1}{x+1}$ $\begin{vmatrix}2\\1\end{vmatrix}$ + $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{(x+1)^{2}}$ $\begin{vmatrix}2\\1\end{vmatrix}$ + 2 $\int_{1}^{2}\frac{lnx}{(x+1)^{3}}dx$ = $\frac{7}{72}$ + 2J

Tính J = $\int_{1}^{2}\frac{lnx}{(x+1)^{3}}dx$ .

Đặt u = lnx. dv = $\int_{1}^{2}\frac{dx}{(x+1)^{3}}$ .

Khi đó du = $\frac{dx}{x}$ , v = - $\frac{1}{2}$ . $\frac{1}{(x+1)^{2}}$

Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có

J = - $\frac{lnx}{2(x+1)^{2}}$ $\begin{vmatrix}2\\1\end{vmatrix}$ + $\frac{1}{2}$ $\int_{1}^{2}\frac{dx}{x(x+1)^{2}}$

= - $\frac{ln2}{18}$ + $\frac{1}{2}$ $\int_{1}^{2}(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^{2}})dx$

= - $\frac{ln2}{18}$ + $\frac{1}{2}$ $(ln\frac{x}{x+1}+\frac{1}{x+1})$ $\begin{vmatrix}2\\1\end{vmatrix}$ = - $\frac{ln2}{18}$ + $\frac{1}{2}$ (ln $\frac{4}{3}$ - $\frac{1}{6}$ ) = - $\frac{ln2}{18}$ + $\frac{1}{2}$ ln $\frac{4}{3}$ - $\frac{1}{12}$ .

Suy ra I = $\frac{7}{72}$ + 2(- $\frac{ln2}{18}$ + $\frac{1}{2}$ ln $\frac{4}{3}$ - $\frac{1}{12}$ ) = ln $\frac{4}{3}$ - $\frac{ln2}{9}$ - $\frac{5}{72}$ .

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.