Chứng minh rằng với mọi số nguyên \(m,\,\,n\) ta đều có \({m^3}n - m{n^3}\) chia hết cho \(6\).

Câu hỏi số 446969:

Vận dụng cao

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:446969

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất chia hết của một tổng và dấu hiệu chia hết cho \(6\): Ba số nguyên (ba số tự nhiên) liên tiếp để chia hết cho \(6\).

(Biến đổi biểu thức đã cho về dạng \(nm\left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right) - mn\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\))

Giải chi tiết

Với mọi số nguyên \(m,\,\,n\) ta có:

\(\begin{array}{l}{m^3}n - m{n^3} = mn\left( {{m^2} - {n^2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = mn\left( {{m^2} - 1 - {n^2} + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = mn\left( {{m^2} - 1} \right) - mn\left( {{n^2} - 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = nm\left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right) - mn\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\end{array}\)

+) Vì \(m\left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right)\) là tích ba số nguyên liên tiếp nên \(m\left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right)\) chia hết cho \(6\)

\( \Rightarrow nm\left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right)\) chia hết cho \(6\)

+) Vì \(n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\) là tích ba số nguyên liên tiếp nên \(n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\) chia hết cho \(6\)

\( \Rightarrow mn\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\) chia hết cho \(6\)

\( \Rightarrow {m^3}n - m{n^3}\) chia hết cho \(6\) (Tính chất chia hết của một hiệu)

Vậy với mọi số nguyên \(m,\,\,n\) ta đều có \({m^3}n - m{n^3}\) chia hết cho \(6\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link