Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường tròn đường kính AB, lấy điểm C thuộc đường tròn
Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường tròn đường kính AB, lấy điểm C thuộc đường tròn \(\left( O \right),\) với \(C\) không trùng \(A\) và \(B\).Gọi \(I\) là trung điểm của dây \(AC,\) gọi \(D\) là giao điểm của tia \(OI\) và tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(A.\)
Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:
Cạnh huyền của tam giác vuông là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông.
Ta có \(\Delta ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) (vì \(A,B,C\, \in \left( O \right)\))
Lại có \(AB\) là đường kính (đề bài)
\( \Rightarrow \Delta ABC\)vuông tại \(C.\)
+ \(\Delta AOD = \Delta COD\left( {c - g - c} \right)\)\( \Rightarrow DC \bot OC \Rightarrow DC\)là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right).\)
+ \(\Delta OCD\) vuông tại \(C\) có đường cao \(CI\) nên \(D{C^2} = DI.DO\)
Ta có \(OA = OC = R \Rightarrow \Delta OAC\) cân tại \(O\) mà \(OI\) là trung tuyến của \(\Delta OAC\) (\(I\) là trung điểm\(AC\)).
Vậy \(OI\) là đường phân giác của \(\Delta OAC \Rightarrow \angle AOI = \angle COI\) hay \(\angle AOD = \angle COD\)
Xét \(\Delta AOD\) và \(\Delta COD\) có
\(OA = OC\left( { = R} \right)\)
\(OD\) là cạnh chung
\(\angle AOD = \angle COD\)(chứng minh trên).
\( \Rightarrow \Delta AOD = \Delta COD\left( {c - g - c} \right) \Rightarrow \angle OAD = \angle OCD\)(tính chất)
Mặt khác\(\angle OAD = {90^0}\) (vì \(AD\) là tiếp tuyến).
Từ đó \(\angle OCD = {90^0}\) hay \(DC \bot OC.\)
Do đó \(DC\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\)(đpcm)
Chứng minh \(D{C^2} = DI.DO\)
\(\Delta OAC\) cân tại \(O\) nên đường trung tuyến \(OI\)cũng đồng thời là đường cao (tính chất các đường trong tam giác cân) \( \Rightarrow \)\(OI \bot AC\) hay \(CI \bot OI\)
\( \Rightarrow \Delta OCD\)vuông tại \(C\) có đường cao \(CI\) nên \(D{C^2} = DI.DO\) (hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông)
\(\Delta BEF \sim \Delta ABF\)\( \Rightarrow \frac{{BF}}{{AF}} = \frac{{EF}}{{BF}} \Leftrightarrow FA.EF = F{B^2}\)
\(\Delta ABF\) vuông tại \(F \Rightarrow \Delta EBF\) vuông tại \(F \Rightarrow \angle EBF = {90^0} - \angle BEF\)
Tương tự \(\angle CAE = {90^0} - \angle AEC\) mà \(\angle BEF = \angle AEC\) (hai góc đối đỉnh).
Vậy \(\angle EBF = \angle CAE\)
Mặt khác \(\angle CAE = \angle BAE\) (vì \(AE\) là tia phân giác của \(\angle BAC\)).
Vậy \(\angle EBF = \angle BAE\) hay \(\angle EBF = \angle BAF\,\,\left( 1 \right)\)
Lại có \(\angle BFE = \angle AFB\)(2).
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) \( \Rightarrow \Delta BEF \sim \Delta ABF\left( {g - g} \right)\)\( \Rightarrow \frac{{BF}}{{AF}} = \frac{{EF}}{{BF}} \Leftrightarrow FA.FE = F{B^2}\) (đpcm)
Quảng cáo
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
